２つのバネの間に挟まれた質点の運動の問題

質問

バネ定数K、自然長L0のバネ、２本の間に質点Mをはさみ、
２本の柱の間(2L)に固定する。ただし、L>L0とする。
静止状態から質点をyだけ上に引きあげて離すとき(Y軸の上方向)単振動に近似した運動をすることが予測できる。この質点を上下に振動させるときの運動方程式を導け。
という問題です。（解答はついていません）

静止状態からyだけ上げたとき、蓄えられるバネのエネルギーは
2K・((L^2+y^2)^1/2-L0)ですが、それがそのまま振動の使われるのではないことは想像できます。

M・d^2y/dt^2 = -2K・((L^2+y^2)^1/2-L0) ・ Ｘ

このＸに入る係数はどうやって求めたら良いでしょうか。
元々の緊張した状態にするために使われているエネルギーと、
上下の振動のためのエネルギーの、分割のしかたがわかりません。

回答No.1

inara · ベストアンサー

問題は参考資料 [1] にあるような状況でしょうか。
この合成バネは、yの変化に対して、バネの伸びが比例していない非線形バネとなるため解析的には解けませんが、たぶん、このあと振幅が小さいとして近似するのでしょう。ちなみにバネに蓄えられるエネルギーは E =1/2*k(Δy)^2 だったと思いますが、これは E = ∫[0～Δy] k*y dy からきているので、k が定数でない場合はE =1/2*k(Δy)^2になりません。

途中まで計算します。

バネが柱に固定されている高さを原点（y=0）としたとき、重りが y の位置にあるとき、バネの長さ L' は L' = √( y^2 + L^2) --- (1)
そのときのバネの張力の大きさは T = k*( L' - L0 ) --- (2)
重りが鉛直上方向に引っ張る力を F、水平方向から計ったバネの傾斜角をθとしたとき、F = 2*T+sinθ --- (3)
また、sinθ = y/L' --- (4)
(1)～(4) より、F = 2*y*k*{1 - L0/√( y^2 + L^2 ) } --- (5)
重りにかかる力は、重りの重力 -M*g と、慣性力 -M*d^2(y)/dt^2 の和 F = -M*g - M*d^2(y)/dt^2 --- (6)
だから、(5),(6) より運動方程式は

M*d^2(y)/dt^2 + M*g = -2*y*k*{ 1 - L0/√( y^2 + L^2 ) }

ここで、静止状態にあるときの重りの高さを y0 とすれば、y0 は式(5)のFが-M*gのときの解である（ただし４次方程式の解）。つまり

M*g = -2*y*k*{ 1 - L0/√( y^2 + L^2 ) }

そこで、y0 からの変位を Y（大文字のY）とおけば（ y = y0 + Y )、 Y に関する運動方程式は・・・

【参考資料】
[1] 2本のバネでつるされた重りの運動（62ページ）　http://homepage2.nifty.com/domae/metapost/mptman.pdf