【高校数学】数学III：微積分関連問題

質問

解き方が分からなかったので、以下の問題の考え方と解答を御願い致します。

問題：関数F(x)がF´(x)＝xe^x^2　、　F(0)＝0をみたすとき、F(x)を求めよ

※xe^x^2は分かりにくければ画像を参照してください。

回答No.1

s10sjsqsksa · ベストアンサー

あたしは高校行っていないのであしからず

F(x)=∫F'(x)dx=∫(xe^x^2)dx
ここで
t=x^2とおきます。この両辺をxで微分すると
dt/dx=2x　これをdxについてとくと
dx=(1/2x)dt
これをF’の式にだいにゅうすると
∫(xe^t)(1/2x)dt = (1/2)∫e^tdt = (1/2)(e^t+C)
tにx^2を元に戻すと
F(x)=(1/2)(e^x^2+C) Cは積分定数
ここでF(0)=0より
F(0)=(1/2)(1+C)=0 よってC=-1
よってF(x)=(1/2)(e^x^2-1) = 0.5e^x^2 - 0.5

だいぶ昔にかじった内容なので自信はありませんが典型的な置換積分の問題だと思います。

お礼

なるほど！置換積分でしたか！
ありがとうございました！

回答No.2

info22_

単純に合成関数の積分法を適用すればいいかと思います。

公式 ∫h'(x)g(h(x))dx=G(h(x))＋C
　　　但し、G(x)=∫g(x)dx

F(x)=∫F'(x)dx=∫xe^(x^2) dx

公式でg(x)=e^x, h(x)=x^2とおくとG(x)=e^x, h'(x)=2x

∫2xg(x^2)dx=e^(x^2)＋C
F(x)=∫xg(x^2)dx=(1/2)e^(x^2)＋C' (C'=C/2)

F(0)=0より
　F(0)=(1/2)+C' ∴C'=-1/2

従って
　f(x)=(1/2)e^(x^2) -(1/2)