連続性

質問

(0,0)における連続性を調べる。ただしf(0,0)=0
(1)f(x,y)=xy/(x^2+y^2)　
(2)f(x,y)=xsin(1/(x^2+y^2))
(1)はy=mxとおけばいいだけですよね。だから不連続。
しかし、f(x,y)=xsin(1/(x^2+y^2))はどうやればいいのかと

回答No.6

noname#5537 · ベストアンサー

x = r*cos(θ)
　y = r*sin(θ)

とおけば，
　x sin(1/(x^2+y^2)) = cos(θ)*r*sin(1/r^2)
(x,y)→(0,0) は r→0 と同値。
よって，
　lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = 0

お礼

非常にわかりやすいです。有難うございます。

補足

ちょっと待って！おかしい。sinのなかみが１/0になってしまう。

回答No.8

noname#5537

> ちょっと待って！おかしい。sinのなかみが１/0になってしまう。

　-|r| <= cos(θ)*r*sin(1/r^2) <= |r|

ではさみうち。

お礼

有難うございます。書き込んでいただく時に思いついてしまいました。わざわざ書き込んでいただいてすいませんでしたyoppiiさんkeyguyさんの協力があってこそ解けたのだと思います。この場を借りて、御礼をしたいと思います。

回答No.7

keyguy

不等式に統合が抜けていました。

(1)
x=yとすると
f(x,y)=1/2
したがってx=yを保ってx,y→0とすると0に収束しない。
(2)
正の実数εを任意に決める。
0<|x|<εかつ0<|y|<εとすると
|f(x,y)|≦|x・sin(1/(x^2+y^2))|≦|x|<ε
すなわちlim((x,y)→(0,0))・f(x,y)=0

最近98seを再インストールしたので≦がなかなか出せなかったのです。
文脈からわかるのでご愛嬌ということで。

補足

今ひとつ理解できないので別の方法を考えてみました。
yoppiiさんのも参考にし
0≦｜cos(θ)*r*sin(1/r^2) ｜≦｜ｒ｜
r→0でいいんじゃありません？評価をお願いします。

回答No.5

keyguy

εは固定できません
「任意の正実数εに対してεに応じて決めることができる正実数δが存在する。」
が極限の定義です。
定義域と値域が正のδ=ｆ(ε)なるfが存在するかどうかが問題なのです。

と書きましたが
下記間違いをしてしまいました。
定義域と値域が正のδ=ｆ(ε)なるfが存在するかどうかが問題なのです。
はうそで
定義域と値域が正のδ=g(ε)なる関数gが存在するかどうかが問題なのです。
が正しいのです。
関数はｆというのが頭にあり問題のｆと重複した単なる下記間違いです。

混乱させたようでどうも失礼しました。

回答No.4

keyguy

lim((x,y)→(0,0))・f(x,y)=0=f(0,0)

補足

0<f(x,y)|<|x・sin(1/(x^2+y^2))|<|x|で(x,y)→(0,0）をやるのにｘ→０しかやらないのでいいのでしょうか

回答No.3

keyguy

yのほうについてなにも言ってないから駄目っていうのはわかるんですけど：

何が駄目なのでしょうか？
誰がそんなこといっているのでしょうか？
言っている人に聞かないと私にはわかりません。

補足

lim_(x,y)→(0,0)f(x,y) やりたいのはこれで、
lim _y→0{lim_x→0 f(x,y)}をやっているため。

回答No.2

keyguy

(2)についてですがε＝２とした時、－２＜ｆ＜２がいえたところで、どうして原点で連続だといえるのか分かりません。:

εは固定できません
「任意の正実数εに対してεに応じて決めることができる正実数δが存在する。」
が極限の定義です。
定義域と値域が正のδ=ｆ(ε)なるfが存在するかどうかが問題なのです。

補足

0<|f(x)|=|x・sin(1/(x^2+y^2))|<|x|
すなわちlim((x)→(0))・f(x)=0,これならはさみうちとして分かるんですが、yのほうについてなにも言ってないから駄目っていうのはわかるんですけど・・・。すいません本当に。言ってる事が良く理解できません。

回答No.1

keyguy

(1)
x=yとすると
f(x,y)=1/2
したがってx=yを保ってx,y→0とすると0に収束しない。
(2)
正の実数εを任意に決める。
0<|x|<εかつ0<|y|<εとすると
|f(x,y)|<|x・sin(1/(x^2+y^2))|<|x|<ε
すなわちlim((x,y)→(0,0))・f(x,y)=0

補足

(2)についてですがε＝２とした時、－２＜ｆ＜２がいえたところで、どうして原点で連続だといえるのか分かりません。