2変数関数の連続性について

質問

f(x,y)=xy/sin(x^2+y^2)　{(x,y)≠(0,0), f(0,0)=0}の条件下における原点でのf(x,y)の連続性について教えてください。はさみうちやrとθでの変換でやってみたのですがどうもできません。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

不連続ですね。
x=yの関係を保ちながら,x→0とすると
f(x,x)=x^2/sin(2x^2)=(1/2)(2x^2)/sin(2x^2)→1/2

x=-yの関係を保ちながら,x→0とすると
f(x,-x)=-x^2/sin(2x^2)=(-1/2)(2x^2)/sin(2x^2)→-1/2

となっていずれも、f(0,0)=0と一致しませんね。
なので、連続といえませんね。

お礼

x/sinx→1　って奴の存在を完全に忘れてました^^;

ありがとうございました.

回答No.1

owata-www

x=rcosθ、y=rsinθとおくと

f(x,y)=xy/sin(x^2+y^2)
=(rcosθ)(rsinθ)/sin{(rcosθ)^2＋(rsinθ)^2}
=r^2*sinθcosθ/sin{r^2(cos^2θ＋sin^2θ)}
=r^2*sinθcosθ/sin(r^2)
…
とやっていけば出来ると思いますが

補足

そこまではいけたのですがその後で詰まりました...