ベクトルの問題です （阪大入試問題）
原点でｚｘ平面に接し、ｚｘ平面に関して点Ｐ（２，４，０）と同じ側にある、半径２の球Ｓがある。Ｓの中心をＱとし、ｙｚ平面上の曲線Ｃ：ｙ＝４ － z＾２/４ 上に点Ｒをとる。
（１）∠ＱＰＲの大きさを求めよ
（２）点Ｒが曲線Ｃ上を動くとき、２点Ｐ，Ｒを通る直線とＳとの共有点Ｓは、ｘｙ平面に垂直なある平面αとＳとの交線上を動く。
平面αの方程式を求めよ。
解答
この球は、中心がＱ（０．２．０）、半径が２である。Ｐ（２，４，０）であり、Ｒはｙｚ平面上でｙ＝４ － z＾２/４をみたすので
Ｒ（０，ｙ，ｚ）∴ＰＱ→＝（－２、－２，０）
ＰＲ→＝（－２、ｙ－４、ｚ）
Ｃｏｓ（∠ＱＰＲ）＝(１２－２ｙ)/2√2√(4+(y-4)＾2+z＾2)
ここで、ｚ＾２＝１６－４ｙから、ｙ≦４であり、
√（4+(y-4)＾2+z＾2 = √(y＾2-12y+36)=√(y-6)＾2 =6-y
∴Cos(∠ＱＰＲ）＝1/√2 ∴∠QRP=45°
(2)S(X,Y,Z)とすると、P,R,Sは同一直線上だから、PS→=kPR→
∴(X-2,Y-4,Z)=k(-2,y-4,z)
∴X=-2k+2, Y=k(y-4)+4, Z=kz........（A)
またＳは球面上にあるから、Ｘ＾２＋（Ｙ－２）＾２＋Ｚ＾２＝４
（Ａ）を代入して(-2k+2)＾2+{k(y-4)+2}＾2+(kz)＾2=4
ここで再びz＾2=16-4yを用いると (y-6)＾2k＾2+4(y-6)k+4=0
∴{(6-y)k-2}＾2=0 ∴(6-y)k-2=0.....(B)
(B)にＸ＝-2k+2, Y=(y-4)k+4を用いて、y,kを消去すると
Ｘ＋Ｙ＝４....(C)
点Ｓ（Ｘ，Ｙ．Ｚ）はｘｙ平面に垂直なある平面上を動くといい、
そのＸ，Ｙが常に(C)をみたすので、平面αの方程式はx+y=4
→質問です！
題意の部分で意味がわかりませんでした、ｚｘ平面に接してかつ、ｚｘ平面に関して点Ｐ（２，４．０）ｔｏ同じ側にある半径２の球Ｓってつまりなんですか？？最初のｚｘ平面に接してるまでは理解できましたけど、その後がややこしくてよくわかりません＞＿＜
二つ目は、解答で球の中心Ｑがなぜ（０．２，０）なんですか？？
またＲの座標はなぜＲ（０，ｙ，ｚ）になるのですか？ｘの部分が０なのは、ｙｚ平面上にあるから０と考えました。それいがいはｙ、ｚでよいのですか？
そのあと、Ｃｏｓ（∠ＱＰＲ＝１２－２ｙ/2√..とありますけど
これどうやってもとめたのですか？？
そのあとの、√４+(y-4)＾2...=√y＾2-12y+..=このあたりはもう手がつけられませんでした＞＿＜
どなたか詳しく教えてください。
（２）について
Ｓは球面上にあるのでＸ＾２＋（Ｙ－２）＾２...とありますが、
何処の式に何を代入してこの式を得たのですか？？
最後は、点Ｓ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）はｘｙ平面に垂直なある平面上をうごくといい。。。と最後説明してますが、ちょっと意味がわかりませんでした＞＿＜
どなたか教えてくださいお願いします！！
お礼
解けました♪ ix+jy+kzをどうやって３つにわけて微分すればよいのか等と悩んで、 視野が狭くなっていました。 ありがとうございます。 おかげで先に進めます、助かりました。