ベクトルの積分

質問

問題を解き進めて行った際にどうしてもわからない問題があったのでお願いします。基底は(i,j,k)です。
問１ f=4xzi+xyz^2j+3zkとし、Ｓをz^2=x^2+y^2,z=0,z=4で限られる曲面とする。nを外向きの単位法線ベクトルとしてds=ndSとおく。この曲面に関して∬f・dsを求めよ。

問2　rを位置ベクトルとし、Ｒはx=0,y=0,y=6,z=4およびz=x^2で限られた領域を表すとする。このとき∫∬rdVを求めよ。

どちらも領域を明確にイメージできないことが原因かと自分では思います。
どのように考えて解き進めていけばいいでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

先ずは領域がどのような形をしているか考えて見ましょう。

問1
z^2=x^2+y^2
これは、z=z0(z軸に垂直な面)で切ると
x^2+y^2=z0^2
つまり、半径が|z0|の円です。
半径がそのz座標の絶対値に比例する円、つまりこれは円錐面です。
これとz=4で囲まれた領域ですからその形は(0,0,0)を頂点として高さ4,底面の半径4の円錐を意味します。

問2
y=0はxz平面であり、y=6はそれに平行でy座標が6の面です。
z=x^2はy軸に垂直な面で切ると放物線となります。
さらにここにz=4の平面(xy平面に平行でz座標が4の平面)を加えると閉じた領域が得られます。
x=0はyz平面のことですが、上記で得られた放物柱(とでも言うのか)をその軸で真っ二つにしたものです。これだけだと二つに分けた領域のどちら側を指すかわかりません。

問1ではこの積分をそのまま計算することも可能ではありますが少々面倒です。
この場合、ガウスの定理を使い面積分を体積積分に変換します。
∫∫f・ds=∫∫∫∇・fdV
dV=dxdydz,積分領域は|x|≦√(z^2-y^2),|y|≦z,0≦z≦4でいいかな。

問2では、r=xi+yj+zk,積分領域は自分で考えてください。

補足

問１の途中で√(y^2-Z^2)の積分が出てくると思うのですが
y=zsectと置換したのですが
z^2∫[0,π]tantsint/cos^2t dt としたとこで躓いてしまいました。
どのようにとけばよいでしょうか？

回答No.3

rnakamra

補足
問2で求めたベクトルを積分領域の体積で割るとその領域の重心が得られます。(体積は∫∫∫dV)
御参考まで。

お礼

なるほど、こういったところにベクトル解析の力学への応用があるんですね。
色々ありがとうございました。

回答No.2

rnakamra

>問１の途中で√(y^2-Z^2)の積分が出てくると思うのですが
√(y^2-z^2)ではなく、√(z^2-y^2)です。この領域中ではx^2+y^2≦z^2ですからy^2-z^2だと負になりますよ。

√(z^2-y^2)は置換積分でもいいのですが、積分範囲が(-z,z)ですからこれは半径zの半円の面積になります。

お礼

それぞれ３２０π、
[24,96,384/5]（0<x<√Z、0<y<6,0<z<4として）
解くことができました。

体積積分が理解できていなかったので非常に助かりました。