連立１次方程式が解を持つ条件を求めよ

質問

下記のｘ、ｙ、ｚ、に関する連立１次方程式が解を持つ条件を求めよ

hx + 2y + z + k = 0
2x + hy + kz +1 = 0
hx + y + 2z +k = 0
x + hy + kz +2 =0

回答No.6

178-tall

< ANo.5
>…はずなので、一度ぐらいご自身で確かめてみて…。

備忘に、途中の要所だけ残しておきます。

・(1)～(3) の係数行列を転置したもの M3 (この表記が正しかった) 。
　M3 = [h　2　h ; 2　h　1 ; 1　k　2 ]
　M3^(-1) = [2h-k　hk-4　2-h^2 ; -3　h　h ; 2k-h　2-hk　h^2-4 ]/D
　　　D = h^2+hk-6

・[a ; b ; c] = {M3^(-1)} * [-1 ; -h ; -k]
　= (k^2-h^2+3)/D = -2
　　　↓
　(k^2-h^2+3) = -2D = -2(h^2+hk-6)
　h^2+k^2+2hk = (h+k)^2 = 9

…まで。

回答No.5

178-tall

< ANo.3
　　↓
>補足
>ありがとうございますがこの場合は係数行列の階数=拡大係数行列の階数を証明することができるか。

#3 さんはその証明をなさったのですヨ。

連立式の (1)～(3) が可解だとして、その解が (4) をも満足する条件…と等価です。
もちろん、行列の勘定でも出せます。ちょいと煩雑なので筋道だけでも…。

たとえば、(1)～(3) の連立式が可解だとする。
「係数行列の階数 = 拡大係数行列の階数」が成立するはず。
そこで、(1)～(4) の「拡大係数行列」にて、4 行目が 1 ～ 3 行の線形結合になるための条件を探ればよい。
つまり、
　4 行目 = a*(1 行目) + b*(2 行目) + c*(3 行目)
が成立つような {a, b, c} を推算。

推算条件は、(1)～(3) の係数行列 M3 を転置したものへ [a ; b ; c]　( ; は改行記号) を掛けたとき、(3) の係数行列の転置 [1 ;h ; k] になる、というもの。
　M3*[a ; b ; c] = [1 ; h ; k]
から、
　[a ; b ; c] = {M3^(-1)} * [1 ; h ; k]
を求めて、
　[a　b　c] * [k ; 1 ; k] = 2
が成立つ条件を求める。(2 とは、拡大係数行列 4 行目の数値)

その結果、
　(h + k)^2 = 9
が得られる。

…はずなので、一度ぐらいご自身で確かめてみて…。

回答No.4

shuu_01

＞　この場合は係数行列の階数=拡大係数行列の
＞　階数を証明することができるか。

ごめんなさい

僕は行列とかベクトルとか苦手で行列の質問は
スルーしてます

回答No.3

shuu_01

一般的に方程式を解くというより、冗談とかクイズみたいな問題です

数学に関係するというと、なんか係数が単純だなぁと気付くのが大事です

(1)　hx + 2y + z + k = 0
(2)　2x + hy + kz +1 = 0
(3)　hx + y + 2z +k = 0
(4)　x + hy + kz +2 =0

(1)－(3)
y - z ＝ 0　となり、y ＝ z

(2)－(4)
x - 1 = 0　となり、x ＝ 1

それを (1)、(2) に代入すると

h + 3z + k ＝ 0　　となり z ＝ -（h + k）/3
（ｈ＋ｋ）z + 3 ＝ 0　となり　z ＝ -3/（h + k）

z が解を持つのは

-（h + k）/3 ＝ -3/（h + k）

の時ですので、（h + k）＝3^2 の時、

h + k = ±3 の時です

z が解を持てば、y ＝ z で当然 y も解を持ち、

x ＝ 1 ですので、x にも解があります

【答え】 h + k = ±3

補足

ありがとうございますがこの場合は係数行列の階数=拡大係数行列の階数を証明することができるか。

回答No.2

stomachman

お困りのようですので説明致します。
　「求めよ」というのは、教科書が口語体を使うように改められた以降に、数学の分野だけで発生したジャーゴン、つまり「業界用語」のひとつであり、文語体では「求む」と言います。すなわち、「出題者が解答者に、問題を解くよう求める」というのが本来の意味なのです。しかし、「求めよ」を普通の日本語として素直に解釈すれば、「問題を解くことを（誰かに）求めるよう、出題者が解答者に命令する」という意味になり、従って、自分で考えないで他人に求める、という行動が引き起こされるのは当然の結果かも知れません。ただし、その場合に解答者が他人に向かって発すべき問いは「問題を解いて下さるよう求めます」である。ところが、これをご質問のように「求めよ」と言ってしまうと、「解答者（＝質問者）は他人（=回答者たち）に向かって、問題を解くことを（さらに別の誰かに）求めるよう、命じる」という意味になってしまう。その場合、「他人」である回答者は、「さらに別の誰か」として誰を選ぶでしょうか。もちろん、このご質問に関わる登場人物は質問者だけしかいない。しかも、その質問者がお願いではなく、命令をしている。となれば回答者が「さらに別の誰か」として質問者自身を選ぶのはほとんど必然だとすら言えましょう。かくて、自分でやれ、という回答がしばしば返って来るんじゃないのかな。

お礼

すみませんが私は外国人から言語が間違いました。直したありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

ちゃんと解いてはいませんが、
（１）与えられた４式のうち３式を使ってｘ、ｙ、ｚを求め、それを残る一式に
　　代入すると、この連立方程式が解をもつために必要なｈとｋの条件が
　　判るような・・・
（２）ｘ，ｙ，ｚが分数の形（分母にｈやｋを含む）になる場合、分母がゼロに
　ならないことも必要かも。