【数の理論】

質問

（１）n=1,2,3,4,のとき、10^n-(-1)nは11で割り切れることを示せ。

(2)37273のように、各桁の数字を逆順に並べかえたとき、
もとの数と同じになる自然数を回文数とよぶ。
5桁の回文数abcbaが11で割り切れるための必要十分条件は、
2a-2b+2cが11で割り切れることであることを示せ。

（２）は式を変形したあと、
（１）の結果を利用します。

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(_)m

回答No.3

bgm38489 · ベストアンサー

（１）nが自然数であるとき、とかだったら、式を変形して証明せねばなりませんが、n=1,2,3,4のときとなっていたら、そのまま当てはめて、実際の計算結果が１１で割り切れる、それではいけませんか？
この式は、ｎが5以上でも、成り立ちますがね。わざわざ、ｎを4までとしているのは、(2)が5桁の数を扱っているからでしょう。

（２）11の倍数というのは、奇数番目の数字（aが二つとｃが一つ）の和と偶数番目の数字（bが二つ）の和の差が、１１で割り切れる、これは有名です。あれ、2a-2b+2cじゃなく、２a+c-2b、つまり、2a-2b+cじゃ？1/2できる式を、条件に挙げるわけないですしね。

abcbaとは、10000a+1000b+100c+10b+aとあらわせます。これに、先ほどの条件式より、c=2a+2b+11n(nは整数）を代入して変形していくと、１１の倍数とあらわされるはずです。

変形の際に、aで表される式と、bで表される式双方を、(1)の式に変形していく―この方針が、正解でしょうか？

お礼

文字で式が表されているときは
そのような表し方もあるんですね！

勉強になりました。
ありがとうございました^^*

回答No.2

MagicianKuma

(1) a ≡ b (mod m)　ならば　任意の整数kに対して a^k ≡ b^k (mod m)が成り立ちます。（証明略)
　10 ≡ -1 (mod 11)　なので　10^n ≡ (-1)^n (mod 11)　よって10^n-(-1)^n ≡ 0 (mod 11)
(2)2a-2b+2cではなく2a-2b+cの間違いですね。さて、問題の回文数は
　abcba = a・10^4+b・10^3+c・10^2+c・10+a = a(10^4-1)+b(10^3+1)+c(10^2-1)+2a-9b+c
　と変形できる。10^4-1,10^3+1,10^2-1は(1)より11で割り切れる。なので、
　abcba ≡ 2a-9b+c (mod 11)となる。また、9b=11b-2bから9b ≡ -2b (mod 11)
　これらから、abcba ≡ 2a-2b+c (mod 11)　を得る。
　よって abcba ≡ 0 (mod 11) ⇔ 2a-2b+c ≡ 0 (mod 11)

回答No.1

asuncion

10^n-(-1)n

この式は、正確ですか？
10^n-(-1)^n
だったりはしないですよね？

補足

すみません!

10^n-(-1)^nでした…。

本当にすいません。