常用対数の最高位の数字が1である数の個数

質問

こんにちは
学校の実力テストのやり直しをしていてどうしてもわからない問題があったので質問します。先生の解説を聞いても解答を見てもよくわかりません。下の(3)です。
問題文
log2=0.3010 log3=0.4771とする(底10省略)
(1)2^2015の桁数を求めよ
(2)2^2015の最高位の数字を求めよ
(3)2^1,2^2,2^3,…2^2015のうち、最高位の数が1であるものの個数を求めよ

やり直しをしていて、(下の写真参照)
nを1から2015までの自然数として、nと2^nの関係から2^nが1桁(n=1,2,3)以外の場合、2^nは各桁の中にある数字のうち、最高位の数が1であるものは各桁に1つしかない。
よって、(1)より2^2015は607桁なので、607-1=606(個)
ということはわかりました。
しかし、「2^nが1桁の場合を除いて最高位の数が1であるものは各桁に1つしかない」ということを証明する方法がわかりません。
かなり面倒な問題ですが、解説よろしくお願いします。
ちなみにこのテストは高2生のもので、(3)は誰も解けませんでした。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

2^1,2^2,2^3,…2^2015
この数列の常用対数と取れば，最初は0.3010でその後は0.3010を次々に加えたものになる。
「最高位の数が1であるもの」は，その常用対数と取れば小数部が0以上で0.3010未満になる。
これだけの事実がわかれば，「2^nが1桁の場合を除いて最高位の数が1であるものは各桁に1つしかない」ことは当たり前と思えるだろう。

お礼

素早く、簡潔な解答ありがとうございます。なるほど、言われてみればおっしゃる通りです。すっきりしました。ありがとうございました！