ナンバーズ4の各桁の合計数がNのときの組み合わせの数

質問

ナンバーズ4についての質問です。

ナンバーズ4の各桁を合計した値をNとします（0≦N≦36、Nは自然数）
　⇒ナンバーズ4は0000～9999の中から数字を選択するため

各桁の合計値がNのときにナンバーズ4の組み合わせは
何パターンあるのか求める方法を教えてください。

例）N=0のときは0000の1パターン
　　N=1のときは0001　0010　0100　1000の4パターン

これを上記のようなアナログなやり方ではなく
数式で求めたいのです。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

20080715 · ベストアンサー

＞これを上記のようなアナログなやり方ではなく
＞数式で求めたいのです。

数式で求めるには、たとえば次のようにやればいいです。
各桁の合計値が N になるようなナンバーズ4の組み合わせ
のパターン数をf(N)とすると、f(N)は x の多項式
(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9)^4
の展開式の x^N の係数です。したがって、
f(N)=Σ[k=0,floor(N/10)]((-1)^k)*4*(3+N-10k)!/(k!*(4-k)!*(N-10k)!)
となります。
( floor(a)は a を超えない最大の整数を表します。)

たとえば、
f(16)=4*19!/(0!*4!*16!)-4*(9!)/(1!*3!*6!)=633,
f(31)=4*34!/(0!*4!*31!)-4*(24!)/(1!*3!*21!)+4*14!/(2!*2!*11!)-4*4!/(3!*1!*1!)=56.

回答No.3

noname#70958

数式で求める方法は既に出ていますが、
選択肢は高々１万通り、結果はわずか37種類ですから、
実際に調べてみた方が早いようにも思います。

例えばExcelで、
　A1：　=TEXT(ROW()-1,"0000")
　B1：　=SUM(INDEX(--MID(A1,{1,2,3,4},1),))
として１万行目までフィルすれば、すべての組み合わせとその場合の和が表示されます。

さらに、
　D1：　=ROW()-1
　E1：　=COUNTIF(B:B,D1)
として37行目までフィルすれば、和に応じて個数が表示されます。

まぁ、ある意味アナログではありますが。
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ちなみに、
　N=　0　,　36　⇒　　　1　パターン
　N=　1　,　35　⇒　　　4　パターン
　N=　2　,　34　⇒　　10　パターン
　N=　3　,　33　⇒　　20　パターン
　N=　4　,　32　⇒　　35　パターン
　N=　5　,　31　⇒　　56　パターン
　N=　6　,　30　⇒　　84　パターン
　N=　7　,　29　⇒　120　パターン
　N=　8　,　28　⇒　165　パターン
　N=　9　,　27　⇒　220　パターン
　N=10　,　26　⇒　282　パターン
　N=11　,　25　⇒　348　パターン
　N=12　,　24　⇒　415　パターン
　N=13　,　23　⇒　480　パターン
　N=14　,　22　⇒　540　パターン
　N=15　,　21　⇒　592　パターン
　N=16　,　20　⇒　633　パターン
　N=17　,　19　⇒　660　パターン
　N=18　　　　　⇒　670　パターン
となります。

以上ご参考まで。

回答No.1

blue_rose

こんにちは

A+B+C+D＝Nのとき、0≦A,B,C,D≦9、0≦N≦36で、A,B,C,Dの組み合わせをもめるには、アナログであたっていくしかありません。4つの数字が決まっている場合は、組み合わせで考えればよいのですが・・・

A,B.C,Dそれぞれ違う場合は、4！
うち2つが同じ場合、4！/2！
うち3つが同じ場合、4！/3！
同じ数字が2組ある、4！/（2！*2！）