７で割ると３余り、１１で割ると４余る３ケタの自然数は何個あるか。

質問

７で割ると３余り、１１で割ると４余る３ケタの自然数は何個あるか。

という問題で、
Ｎ＝７ｍ＋３＝１１ｋ＋４とおいて、
ｍ＝（１１ｋ＋１）/７
　＝ｋ＋（４ｋ＋１）/７
より、４ｋ＋１＝７ｎ
ｋ＝（７ｎ－１）/４
を代入して、
Ｎ＝１１｛（７ｎ－１）/４｝＋４
　＝（７７ｎ＋５）/４
１００≦Ｎ＜１０００より
１００≦（７７ｎ＋５）/４＜１０００
６≦ｎ≦５１
５１－６＋１＝４６個？
となりました。

でも正解は12個でした。

知っている他のやり方でこの問題をすると、
７ｍ＋３＝１１ｋ＋４
７ｍ＝１１ｋ＋１…(1)
の一例を考えて入れてみて、
７＊８＝１１＊５＋１…(2)
(1)－(2)より、
７（ｍ－８）＝１１（ｋ－５）
７と１１は互いに素であるので、
ｍ－８＝１１ｎより
ｍ＝１１ｎ＋８
これをＮの式に代入して、
Ｎ＝７７ｎ＋５９
１００≦７７ｎ＋５９＜１０００
１≦ｎ≦１２
∴12個

となり、正解にたどりつけました。最初の方法でなぜ正解にたどりつけなかったのかがわかりません。何か条件を忘れているのでしょうか。２つのやり方の違い、最初のやり方の不足点を教えてください。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

つまるところ,
4k+1 = 7n
から
k = (7n-1)/4
としたときに「n, k は整数」という条件が消えてる (「k が整数でなければならない」ことを忘れてしまった) のが敗因.
上から
4k+1+7 = 7n+7, つまり 4(k+2) = 7(n+1)
とすれば「n+1 が 4の倍数でなければならない」ので n = 4m-1 とおけて, これから
100 ≦ (77n+5)/4 = 77m - 18 < 1000
で (範囲は違うけど) 同じ結論にたどり着きます.
あるいは, 不定方程式の理屈で
4k+1 = 7n より m = k-n とおいて 4m+1 = 3n
さらに t = n-m とおいて m+1 = 3t, よって m = 3t-1
から逆にたどっても最終的には同じ結論になるんじゃないでしょうか.

お礼

なるほど…整数条件はこちらで気付かないと加えられないものなんですね…そういえば整数条件から絞り込んだ式を作ってたのに、途中で分母が出てきたのを見逃してました；
納得できました。何度もすみません、丁寧な回答ありがとうございました^o^

回答No.2

Tacosan

あ, #1 は日本語がおかしい.
「常に 4の倍数にはならない」
じゃなくて
「常には 4の倍数にならない」
もしくはより自然に
「常に 4の倍数になるわけではない」
じゃないといけない.
例えば, n の範囲として「6以上 51以下」としていますが, n=6 のとき (77n+5)/4 は整数ですか?

お礼

あ～…Ｎの整数条件を忘れてました。…でも思ったんですけど、式を解くだけでは整数条件が反映されない…のは何ででしょうか。なんか不思議に思いますね。
１００≦（７７ｎ＋５）/４＜１０００
の式を解くだけで良かったらいいのに…

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

77n+5 が常に 4の倍数にはならないことを忘れています.

お礼

そのようです。回答ありがとうございました。