gradの問題

質問

「ベクトル場ｖに対して、v=gradAを満たすスカラー場A(x,y)が定義できる。このA(x,y)を求めよ。
ただし、原点においてA(0,0)=0とする。」という、大学の数学の宿題に悩んでいます。

　自分で文字をおけばよいのか、それとも何かほかのやり方があるのか見当がつきません。どなたか、教えてください。

回答No.3

noname#221368 · ベストアンサー

A(x,y)の形式解を書け、という意味だと思います。条件「v=gradAを満たすスカラー場A(x,y)が定義できる。」は、うるさい事を言わなければ（何階微分可能とか・・・）、次の条件と同等です。

　　rot×v＝0　　　(1)

　(1)は、3次元のベクトル場に対して定義されるものですが、vを、z成分が常に0の3次元ベクトルと考えれば、(1)を適用できます。このとき、

　　rot×v＝0　⇔　Ａ(x，y)＝∫c v・dc　　　(2)

が成り立ちます。
　∫c は、2次元平面に任意に取った経路c上での線積分を表し、dcは経路cの線素ベクトルで、・は内積です。さらに積分は、cの始点を固定して行い、終点の方は自由です。その意味で、(2)の右辺のＡ(x，y)は、(x，y)の関数になります。

　Ａ(x，y)を(2)のように（自分で）定義すると、積分の始終点（cの始終点）における積分値の差として、Ａ(x，y)は表されるので、始点における定数値分の不定性を、Ａ(x，y)は持ちます。

　そこで、「原点においてA(0,0)=0とする。」です。cの始点を原点だと「決めます」。

　問題は、スカラーポテンシャル（渦無し場，保存場）の定義を理解しているか？、を問うているように見えました。

お礼

アドバイスありがとうございます。

スカラーポテンシャルのことについて教科書を読みなおし、考えてみます。

回答No.2

Tacosan

その v とやらがどんなものか書いてありませんか?

お礼

回答ありがとうございます。

下の問題文のほかには何も書いていません。

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

問題の前後に、もっと何か条件が書いてありませんでしたか？
任意のベクトル場 v に対して
v = grad A となるスカラー場 A が存在する訳ではありません。
スカラー場 A とベクトル場 B の組を持ってきて、
v = grad A + rot B とすることならできます。

お礼

ありがとうございます。
本当の問題は「ベクトル場vに対して、ｖ＝gradAを満たすスカラー場を定義することは可能であるか否か述べ、可能な場合はA(x,y)を求めよ。ただし、原点においてA(0,0)=0である。」です。
どうしていいのかよくわからないのでよろしくお願いします。