筑波大数学過去問：y=xに衝突直後の速度ベクトル

質問

物理をとっていないのか、速度に関するこの問題をどこから手をつけていいのか、どの公式を使うのかサッパリわかりません。本当に虫のいい話ですが、誰か解説してもらえないでしょうか。それを１行１行追っかけて理解していくつもりですから、どうかよろしくお願いします。何でも５３年（古過ぎっ！）筑波大入試みたいです。

[問題]
xy-平面上で、原点から初速度ベクトル(u_0,v_0)で出発した動点Pが直線y=xと１度衝突した後原点に戻って来たとする。Pが直線y=xに衝突した直後の速度ベクトルを(u_1,v_1)とする。Pが原点を出発して直線y=xと衝突するまでの、t秒後の速度ベクトルは(u_0,v_0-ct)で、衝突してからt秒後の速度ベクトルは(u_1,v_1-ct)である。ただし、0＜u_0＜v_0とし、またcは正の定数とする。Pが直線y=xに衝突する直前の速度ベクトルと、衝突した直後の速度ベクトルとは直線y=xに関して対称であるとする。
（１）　(u_0,v_0) と (u_1,v_1) との関係を求めよ。
（２）　u_0/v_0 の値を求めよ。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

筑波大の過去問なんですか…
ひどく混乱した文章で、
入試の本番中に読むのは辛いものがありますが、
一応、物理の知識を使わないで済むように、
ちゃんと数学の問題に落とし込んではあるようです。
これが筑波大の出題者のレベルか…

(1)
(u_0,v_0) を所与として、(u_1,v_1) を求めればよいです。
最終的には、
＞ 直線y=xに衝突する直前の速度ベクトルと、
＞ 衝突した直後の速度ベクトルとは
＞ 直線y=xに関して対称であるとする。
によって (u_1,v_1) が求まるので、まず
衝突する直前の速度ベクトルを求めます。それには、
＞ 衝突するまでの、t秒後の速度ベクトルは (u_0,v_0-ct)
を使えばよいです。

衝突するまでの P の軌跡(のパラメータ表示)が
(x,y) = ∫(u_0,v_0-ct)dt なので、x=y と衝突するのは　←[*]
(u_0)t = (v_0)t - (c/2)t^2 のとき。
解の一方は出発時の t=0 なので、
衝突は t = (2/c)(v_0 - u_0) のときです。これを
(u_0,v_0-ct) に代入すれば、衝突する直前の速度が出ます。

その速度を (u_a,v_a) として、
それと直線y=xに関して対称なベクトルが (u_1,v_1) です。
一次変換の単元で出てくる公式を使ってもよいし、素朴に
{(u_1,v_1) - (u_a,v_a)}・(1,1) = 0,
{(u_1,v_1) + (u_a,v_a)} = s(1,1)　（sは実数）を解いて
u_1, v_1 を求めてもよいでしょう。

以上で、(u_1,v_1) が (u_0,v_0) を含む式で表されます。

(2)
衝突の時刻を t1、衝突後原点に戻るまでの時間を t2 とすると、
∫[t=0→t1](u_0,v_0-ct)dt + ∫[t=0→t2](u_1,v_1-ct)dt = (0,0)
です。t1, u1, v1 は、上記で求まっています。

成分ごとに分解すると
(u_0)t1 + (u_1)t2 = 0,
(v_0)t1 - (c/2)(t1)^2 + (v_1)t2 - (c/2)(t2)^2 = 0
ですから、両式から t2 を消去して、
式を u_0/v_0 = …　の形に変形すればよいです。

たぶん、物理の教科書に出てくる公式を使うと、
もっと簡単に値を出すことができますが、
数学の問題として解くときは、その公式の導出も添えなければ
答案になりません。

お礼

物理との関連まで触れながら、ていねいに解説してもらい、本当にありがとうございました！！！感謝しています。一つ一つ納得しながら、自分なりに式変形をして、解答を仕上げてみます。