2つのベクトルによって生成される三角形の問題です。

質問

ご教授願います。

2つのベクトル →x=(u,1), →y=(v,1) が常に直行するようにu,vが変化し、
このとき原点とベクトル→x、→yのなす三角形の面積の最小値のとき方を教えてください。

回答No.5

egarashi · ベストアンサー

これは正しいはずです。お騒がせしました。
→x⊥→yより、
→x・→y=uv+2=0
∴uv=-2…(1)
また、三角形の面積をS→xの長さをx、→yの長さをyとすると、
S=1/2×xy
=1/2×√((u^2+1)(v^2+4))
=1/2×√(u^2・v^2+4u^2+v^2+1)
=1/2×√(5+4u^2+4/u^2)(∵(1))
ここで、相加相乗平均より、
u^2+1/u^2≧2√(u^2×1/u^2)=2
∴Sの最小値Sminは、
Smin=1/2×√(5+4・2)=1/2×√13

お礼

ご丁寧にありがとうございます。おかげで理解することができました！

回答No.7

info22

#4,#6です。
訂正です。

>２）面積S(S>0)とおく。
>S^2=(1+u^2)(4+v^2)/4
>={1+u^2+v^2+(uv)^2}/4={2+(u-v)^2+2uv}/4={(u-v)^2-2}/4
={1+u^2+v^2+(uv)^2}/4={5+(u-v)^2+2uv}/4={(u-v)^2+1}/4

>{4S^2}+2=(u-v)^2=T^2 (T>0)とおく。
{4S^2}-1=(u-v)^2=T^2 (T>0)とおく。
>T=|u|+|v|
>|uv|=2
>３）相加平均≧相乗平均から
>T≧2√{|u|*|v|}=2√|uv|=2√2
>4S^2}+2=T^2=8
{4S^2}-1=T^2=8

>S^2=3/2 → S=3(√2)/2
S^2=9/4 → S=3/2

u=?, v=? で最小。

あとは自分でおやり下さい。

回答No.6

info22

#4です。

>ベクトルyは（v、2）です。
こうなら
１）内積ゼロから
uv+2=0
uv=-2
u,vは異符号

２）面積S(S>0)とおく。
S^2=(1+u^2)(4+v^2)/4
={1+u^2+v^2+(uv)^2}/4={2+(u-v)^2+2uv}/4={(u-v)^2-2}/4
{4S^2}+2=(u-v)^2=T^2 (T>0)とおく。
T=|u|+|v|
|uv|=2
３）相加平均≧相乗平均から
T≧2√{|u|*|v|}=2√|uv|=2√2
{4S^2}+2=T^2=8
S^2=3/2 → S=3(√2)/2
u=?, v=? で最小。

あとは自分でおやり下さい。

お礼

こちらのルールを全くわからず質問していたところ、
ご忠告ありがとうございました。

自分で考えることは大切ですよね！
わかりやすいヒントありがとうございました☆

回答No.4

info22

問題の丸投げと丸解答要求は禁止事項ですので質問の仕方に注意して下さい。
質問する場合は、解答のプロセスを書いて、解凍中の分からない箇所だけを具体的に質問するようにして下さい。そうすれば削除対象にならないで済みます。
補足に解答を書いて質問下さい。

丸解答禁止なので、ヒントだけ。

１）直交条件は内積ゼロ。
uv+1=0 → uv=-1
u,vは異符号
２）面積Sは直交する二辺の積÷２です。
S^2=(1+u^2)(1+v^2)/4=(2+u^2+v^2)/4=(1/2)+{(u-v)^2-2}/4
={(u-v)^2}/4 → S=|u-v|/2=(|u|+|v|)/2
３）相加平均≧相乗平均の関係から
S≧√(|u|*|v|)=√|uv|=1
u=?, v=?

あとは自分で考えて下さい。

回答No.3

egarashi

すみません。No.2は根本的に間違ってます。消してください。

回答No.2

egarashi

→x⊥→yより、
→x・→y=uv+1=0
∴v=-1/u…(1)
また、三角形の面積をSとすると、
S=1×(u-v)×1/2
=1/2×(u+1/u)(∵(1))
相加相乗平均より、
S=1/2×(u+1/u)≧1/2×2√(u×1/u)=1
ただし、等号はu=1/uのときのみ成り立つ。
∴このとき、u=±1,v=-+1(複合同順)
よって、原点とベクトル→x、→yのなす三角形の面積の最小値は、
→x=(±1,1),→y=(-+1,1)(複合同順)のとき、1である。

回答No.1

Kules

丸投げで消されるかも知れないけど…
ベクトルが直交より内積＝０を使ってuとvに関する条件が出るので、
三角形の面積の公式に当てはめて計算すればよい。
ただこの問題の２本のベクトル平行っぽいんだけど…

お礼

ご協力ありがとうございました☆

補足

すみません。問題に誤りがあります。

ベクトルyは（v、2）です。