一様連続みたいですが？？

質問

連続群論（ポントリヤーギン）下巻、ｐ380ですが、

Rは位相空間で、1点が閉集合、弧状連結、局所連結、局所単連結としてある。

固定点a∈Rを始点にもち、径数sと共に連続的に動く道をf_sとし、f(s,t)＝f_s(t)とおく。実数直線上の区間[0,1]をIで表す。f(s,t)は正方形I*Iの上で定義された連続関数である。正方形I*Iがコンパクトであることから、次の性質をもつ正数εの存在が保障される。：任意の点(s_0,t_0)∈I*Iにつき、
点f(s_0,t_0)の適当な正則に被覆される近傍U(s_0,t_0)は|s-s_0|≦ε、|t-t_0|≦εなるすべての点f(s,t)を含む、ε＝1/n、ただし、ｎは自然数、としてよい。

とあるのですが、なぜ、”正数εの存在が保障される”のか、その理由が分かりません。
お分かりの方、よろしくお願いします。

f_s　は　f　の右下に小さな　ｓ　が付いていることを表します。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(I*I)の任意の開被覆{V(f(s,t))}_{(s,t)∈I*I}に対して、
次の性質をもつ正数εの存在が保障される。：
|x-s|≦ε,|y-t|≦ε
となる任意の2点{(s,t),(x,y)}⊂I*Iに対して、
{f(s,t),f(x,y)}⊂V(f(s_0,t_0))
となる(s_0,t_0)∈I*Iが存在する。
ε=1/n、ただし、nは自然数、としてよい。

{V(f(s,t))}_{(s,t)∈I*I}をf(I*I)の任意の開被覆とする
fは連続だから
G(s,t,n(s,t))={(x,y)∈I*I||x-s|<1/{n(s,t)},|y-t|<1/{n(s,t)}}
f(G(s,t,n(s,t))⊂V(f(s,t))
となる自然数n(s,t)が{(s,t)に関係して}存在する
ε(s,t)=1/{n(s,t)}とする
I*I⊂∪_{(s,t)∈I*I}G(s,t,2n(s,t))
{G(s,t,2n(s,t))}_{(s,t)∈I*I}はI*Iの開被覆で
I*Iはコンパクトだから
I*I⊂∪_{k=1～m}G(s_k,t_k,2n(s_k,t_k))
となるI*Iの有限開被覆{G(s_k,t_k,2n(s_k,t_k))}_{k=1～m}が存在する
n=max_{k=1～m}(2n(s_k,t_k))
ε=1/n
とする.
|x-s|≦ε,|y-t|≦ε
となる任意の2点{(s,t),(x,y)}⊂I*Iに対して、
(s,t)∈G(s_k,t_k,2n(s_k,t_k))
となるkが存在するから
|x-s_k|≦|x-s|+|s-s_k|<ε+1/{2n(s_k,t_k)}≦1/{n(s_k,t_k)}
|y-t_k|≦|y-t|+|t-t_k|<ε+1/{2n(s_k,t_k)}≦1/{n(s_k,t_k)}
(x,y)∈G(s_k,t_k,n(s_k,t_k))
∴
f(x,y)∈V(f(s_k,t_k))
f(s,t)∈V(f(s_k,t_k))

お礼

ありがとうございます。

内容はゆっくり読んで見ます。