数列漸化式

質問

図のように、1辺の長さ1の正方形の各辺２:1に内分する４点を結んでできる正方形の面積をS_1とする。同様に、新しくできた正方形の４辺を２:1に内分する４点を結んでできる正方形の面積をS_2とする。以下同様に、この操作をn回行った後にできる正方形の面積をS_nとするとき、S_nをnの式で表せ。

答えだけでなく解き方の過程を詳しく!!教えてもらえると本当に助かります！

苦手なのでこんな私にもわかるようにどうかお願いします´｀

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

S_2 と S_1 の関係を求める.

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

fef

問題中に
　あるものを基に別のものを作り，
　さらに新しく作られたものを基にまた新しいものを作る，
という再帰的な過程が含まれている場合，
式を立てる上で漸化式が有効です．
再帰的な過程を直接的に式に直せますからね．
本問でも，
　最初の正方形の各辺の内分点を結んで次の正方形を作り，
　新しくできた正方形の各辺の内分点を結んでさらに次の正方形を作り，
　・・・
という再帰的な操作が含まれているので，
やはり漸化式を考えることになります．

漸化式を作る上で最も重要なステップは，
問題の再帰的な関係を式に直すステップです．
そもそも漸化式は，
　初期条件
　　（例） a_{1} = 1
と
　再帰関係式
　　（例） a_{n+1} = 2 a_{n}
という二つの部品からなるわけですが，
このうち初期条件はたいてい簡単に求まります．
ポイントは
　問題の再帰的な関係をいかに式に直すか
です．
問題の中でこのステップに関係のない要素は一旦忘れ，
再帰的な部分にのみ意識を集中して，立式を試みます．

本問に関して言えば，
　S_{n+1} と S_{n} との間にどのような関係があるか
を考えることが本質です．
まず，問題の操作を n 回繰り返してできる正方形を仮に描いてみましょう．
（辺の長さや傾きは適当でかまいません．）
次に，その各辺を 2:1 に内分する4点を結んで新しい正方形を描きましょう．
初めに描いた正方形の面積が S_{n} で，
次に描いた正方形の面積が S_{n+1} ですね．
S_{n+1} と S_{n} との間にどのような関係式が成り立ちますか？
そうして立てた関係式に初期条件（S_{1}の値は？）を書き加えれば漸化式は完成です．
あとはその漸化式を解けばよいのです．

お礼

ありがとうございました!!