弧状連結についての質問です

質問

ユークリード空間R^nの部分集合S^(n-1)を
S^(n-1) = { (x1,・・・,xn ) } ∈ R^n | x1^2+・・・xn^2 = 1}
となる。このとき、R^n - S^(n-1)は弧状連結になるか調べよ。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

itukadarekato

充分わかりやすいはずですが(笑)

背景を少し説明しましょう
分かりやすく2次元で書きます

これは、Jordan curve theorem の一部を
最も簡単な例の1つで確認させるものです

2次元ではS^(n-1)は半径1の円周になります
平面はこの円 S^1={ x: ||x||=1 }と
円の内側 A={ x: ||x||<1 }と外側 B={ x: ||x||>1 }
の3つの部分に分かれます。

問題はこの平面R^2から円周S^1を除いたもの
R^2 - S^1=A∪B が弧状連結ではないことを示せといっています
一般的には難しい問題ですが
このケースは境界が円周という非常に簡単な形をしているので
難しい部分の大部分が必要なくなります

ある集合が弧状連結ではないということは
この集合内を通る弧で結べないこの集合の2点が存在するということです

直観的には円周の内部Aと外部Bから1つづつ点をとれば
この2点を結ぶどんな弧(直観的には曲線です)も
円周と交わってしまうことは明らかでしょう
これを論理的に示す手順を既述しました
ただし、弧の定義が書かれていなかったので
これは貴方の手元にある定義に合わせて書いてください

円の内部の点　u∈A　は　||u||<1　となっています
円の外部の点　v∈B　は　||v||>1　となっていますね

このu,vを結ぶどんな弧をとっても
||u||<1 と　||v||>1　を使って
この弧の上に　||w||=1　となる点が存在することを
示せば終わりです。

u,vを結ぶ弧はおそらく[0,1]からR^2への連続写像 hで　
h(0)=u, h(1)=v
ということを含む形で定義されているはずです
またノルムはR^2上の実数値連続関数です
つまり ||u||や||v||は実数で||.||は連続です
よって
t　→　x=h(t) →　g(t)=||x||=||h(t)||
という合成写像 g は[0,1]上の実数値連続関数で
g(0)=||u||<1, g(1)=||v||>1　を満たしています

あとは中間値の定理を使うだけですが
G(0)<0, G(1)>1　という形の方がわかりやすいので
G(t)=g(t)-1としたらどうですかということです
G(t_0)=0というt_0の存在が言えれば
g(t_0)=||h(t_0)||=1となるはずです　W=h(t_0)が円周と交わる点です

もう一度手順を見直してください

お礼

丁寧に解説していただきありがとうございました。理解することができました。
また宜しくお願い致します。

回答No.4

uyama33

弧状連結は、その空間内の任意の2点u,vをとったときに、
K=[0,1]で定義された連続関数f(s)で、
f(0)=u,f(1)=v
となるものが存在する。

だと思いますので、

uを原点、vを外部の点例えば、(2,0,..,0)
１、f(K)は連結（連結な区間の連続関数による像だから　証明必要です）
２、f(K)は、R^n - S^(n-1)に含まれる。
３、f(K)と球の内部の共有点がある。f(K)と球の外部にも共有点がある。
４、f(K)と球の内部の共通部分は開集合、f(K)と球の外部の共通部分も開集合
５、それらの和集合がf(K)となる。
６、f(K)は空ではない2つの開集合の和となり、しかも共通部分は空集合である。
７、f(K)は連結ではない。（連結の定義を確認すること）

これは、矛盾よって弧状連結ではない。

これが、あらすじだと考えます。
連結と連続関数の性質はよく確認して証明を付けておいて下さい。
連続と相対位相の確認もして下さい。

お礼

何度も何度も本当にすみません。
弧状連結についてあまり詳しくないので分かりやすく教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

itukadarekato

念のために次の点を補足しておきます

2点を結ぶ弧の定義がはっきり書かれていなかったので
これを線分としてproof lineを記述しました

この部分は最後に弧の定義に必ず置き換えてくださいね

お礼

すみませんが、分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.2

itukadarekato

訂正です

誤：　考えている集合の任意の2点を結ぶ線分
正：　考えている集合の2点u,vを結ぶ線分

回答No.1

itukadarekato

>ユークリード空間R^nの部分集合S^(n-1)を
>S^(n-1) = { (x1,・・・,xn ) } ∈ R^n | x1^2+・・・xn^2 = 1}
>となる。このとき、R^n - S^(n-1)は弧状連結になるか調べよ。

大学生だと思うので proof line を示します
何を使用していいのかはっきりしませんので
必要があれば、使用する事実を確認(証明)する必要があります

1. x=(x_1,・・・,x_n )のノルム　: ||x||^2=x_1^2+・・・x_n^2
2. f(x)=||x||とすれば、fはR^n上の実数値連続関数
4. A={ x: ||x||<1 }, B={ x: ||x||>1 }とすれば R^n - S^(n-1)=A∪B
5. u∈Aとv∈Bを選び　C={ (1-t)u+tv: t∈[0,1] }とする
6. C={ (1-t)u+tv: t∈[0,1] }は[0,1]と位相同型(同型写像：h)
h(0)=u, h(1)=v
7. g(t)=fh(t)=||(1-t)x+ty||は[0,1]から実数Rへの連続関数
8. g(0)=||u||<1, g(1)=||v||>1
9. [0,1]から実数Rへの連続関数G(t)=g(t)-1に中間値の定理を使う

この手順で、考えている集合の任意の2点を結ぶ線分がS^(n-1)と
交点を持つことを示すことができます
考えている集合は弧状連結ではないことが分ります

お礼

何度も何度も本当にすみません。
弧状連結についてあまり詳しくないので分かりやすく教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。