一様収束について

質問

f(z)=1/zは領域I=｛|z|<1｝で一様連続でないことの証明について質問です．

以下の証明でひとつわからないところがあったので教えてください．

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f(z)がI上一様連続であるとする．
すなわち任意の正数εに対して 0＜δ＜1 を満たすある正数δが存在して，

|z_1 - z_2|＜δ ⇒ |f(z_1) - f(z_2)|＜ε （z_1, z_2∈I）

が成り立つ．（～以下略～）

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この証明で，なぜδは 0＜δ＜1 を満たす数なのでしょうか？

I上一様収束の定義は

∀ε＞0，∃δ＞0 s.t. |z_1 - z_2|＜δ ⇒ |f(z_1) - f(z_2)|＜ε
（z_1, z_2∈I）

だったと思うので，δ＞０という条件だけしか出てきませんでした．
上のような条件「0＜δ＜1」はどのようにして出てくるのでしょうか？

よろしくお願いします

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(z)=1/zがI={0<|z|<1}で一様連続であるとする
∀ε>0，∃δ>0 s.t. |z_1 - z_2|<δ ⇒ |f(z_1) - f(z_2)|<ε (z_1, z_2∈I)
0<δ'<min(δ,1) となるδ'が存在し,0<δ'<1 となり
z_1, z_2∈I,|z_1 - z_2|<δ'　ならば
⇒|z_1 - z_2|<δ'<δ ⇒ |f(z_1) - f(z_2)|<ε
ところが
z_1=δ'
z_2=δ'/2
とすると
|z_1 - z_2|=δ'/2<δ'
|f(z_1) - f(z_2)|=|(1/z_1)-(1/z_2)|=|z_1-z_2|/|z_1||z_2|=1/(δ')>1>ε
となって矛盾するから
f(z)=1/zはIで一様連続でない

回答No.2

tanukinoyama

一様連続の定義の中で、δは0<δ<1にとるものと仮定したとしても、もとの定義と同値です。慣れたら当たり前のことです。
このようにあえておいたのは続く説明でわかりやすくなると思ったからだと思います。