確率

質問

金の硬貨１０枚と銀の硬貨２０枚が入った袋がある。

１）袋の中から硬貨を１３枚同時に取り出すとき、その中に金の硬貨がｎ枚含まれる確立をＰｎとする。このときＰｋ+1/Pkをｋを用いて表せ。

ただし　０＜＝ｋ＜＝９（０以上９以下）である。

２）　（１）のとき、Ｐｎが最大となるｎを求めよ。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

１）＞
Pk=13Ck{(10/30)*(9/29)*・・・*(11-k)/(31-k)}
*{20/(30-k)}*{19/(29-k)}*・・・*{(8+k)/18}
=13Ck{10*9*・・・*(11-k)*20*19*・・・*(8+k)}/{30*29*・・・*18}
P(k+1)=13C(k+1){10*9*・・・*(10-k)*20*19*・・・*(9+k)}/{30*29*・・・*18}
P(k+1)/Pk=13C(k+1){10*9*・・・*(10-k)*20*19*・・・*(9+k)}{30*29*・・・*18}
　　　　　　　　/13Ck{10*9*・・・*(11-k)*20*19*・・・*(8+k)}{30*29*・・・*18}
=13C(k+1){(10-k)}/13Ck{(8+k)}
=(10-k){13!/(k+1)!(12-k)!}/(8+k){13!/k!(13-k)!}
=(10-k)(13-k)/(k+1)(8+k)・・・答え
２）＞
P(k+1)/Pkの分子=(10-k)(13-k)
=k^2-23k+130=(k-23/2)^2+130-(23/2)^2=(k-23/2)^2-9/4・・・(ア)
P(k+1)/Pkの分母=(k+1)(8+k)
=k^2+9k+8=(k+9/2)^2+8-81/4=(k+9/2)^2-49/4・・・(イ)
k^2-23k+130=k^2+9k+8から122=32k、k=122/32≒3.81
(ア)(イ)のグラフからk＞122/32≒3.81でP(k+1)/Pk＜1となり、
k＜122/32≒3.81ではP(k+1)/Pk＞1となる。
従ってk=4でP(5)＜P(4)、k=3でP(4)＞P(3)、合わせて
P(3)＜P(4)＞P(5)となるので、P(4)が最大値となる。
よって、Ｐｎが最大となるｎは、n=4・・・答え

回答No.1

asuncion

設問1
合計30枚から13枚を同時に取り出す場合の数=30Ｃ13
13枚の中に金貨をn枚、銀貨を(13-n)枚含む場合の数=10Ｃn・20Ｃ(13-n)
Pn=10Ｃn・20Ｃ(13-n)/30Ｃ13

P(k+1)/Pk
={10Ｃ(k+1)・20Ｃ(12-k)}/{10Ｃk・20Ｃ(13-k)}
=(10-k)(13-k)/(k+1)(k+8)
かな？とりあえず。