確率(玉について）

質問

P,Qの2人がいて、Ｑには区別のつかない２つの袋Ａ、Ｂがあり、袋Ａには4n個の白玉と2n個の黒玉が入っており、袋Ｂにはn個の白玉と5nこの黒玉が入っている。

ＰはＱに見えないように2個の硬貨を投げ、表が2枚出た時、袋ＡをＱに渡し、それ以外のときは袋ＢをＱに渡す。

Ｑは渡された袋から３個の玉をとりだし、白玉の数が黒玉の数よりも多い時は渡された袋はＡであると判断し、黒玉の数が白玉の数よりも多い時は渡されてた袋はＢあると判断する。

このときＱが誤った判断をする確率をPｎとしてlim(n→∞)Pnをもとめる。
nは自然数とする問題で

【Ａである】と誤った判断をする確立と【Ｂである】と誤った判断をする確立を考えるのでしょうか？

【Ａである】と誤った判断をする確立とき
Ｂの袋から3個の白玉を取り出したときの確率
Ｂの袋から2個の白玉と1個の黒玉を取り出した確率をどうして考えるのでしょうか？

またこのときの計算するときの3/4とはどのようにして現われたのですか？

Ｐｎをもとめる時、【Ａである】と誤った判断をする確立と【Ｂである】と誤った判断をする確率をどうして足した値なのでしょうか？

回答No.8

mgsinx · ベストアンサー

公式というほどのものではありません。
任意の実数aについて
lim(n→∞)(a/n)=0となるということの応用です。
例えば、
lim(n→∞){3(n-1)(n-2)/(n^2-4n+7)}=3
lim(n→∞){3(n-1)(n-2)/(n^2+6n+1)}=3
lim(n→∞){3(n-1)(n-2)/(n^2-5n-9)}=3
lim(n→∞){3(n-1)(n-2)/(n^2+3n+3)}=3
lim(n→∞){3(n-1)(n-2)/(n^2-8n+2)}=3
…
というように、a,bがどんな実数でも極限をとると3になるということです。

お礼

長い間どうもありがとうございました。
極限が理解でしました
ありがとうございます。

回答No.7

mgsinx

lim(n→∞){3(n-1)(n-2)}
=∞
です。

任意の実数a,bについて
3(n-1)(n-2)/(n^2+an+b)
=(3n^2-9n+6)/(n^2+an+b)
=3(1 - 3/n + 6/n^2)/(1 + a/n + b/n^2)
=3
となります。

＞13/108になったのですが合ってますか？
具体的にどのような計算を行ったかを書いて頂けると、正誤の判断がしやすいです。

補足

任意の実数a,bについて
3(n-1)(n-2)/(n^2+an+b)について分からないので教えてくれませんか？
これは公式ですか？

回答No.6

mgsinx

lim(n→∞)1/n=0
を使います。

lim(n→∞)Pn
=lim(n→∞)[(n-1)/{8(6n-1)}+(2n-1)/{12(6n-1)}]
それぞれの分子と分母をnで割ります。
=lim(n→∞)[(1-1/n)/{8(6-1/n)}+(2-1/n)/{12(6-1/n)}]
一番上で示した式を適用して、
=1/(8×6)+2/(12×6)
=1/48+1/36
=7/144
…あれ？
#1の答えが間違っていたみたいです。
大変失礼しました。

補足

lim(n→∞)Pnを利用して
例えば
3(n-1)(n-2)は
=3(n＾2)-9n＋2
={(3n＾2)/(n＾2)}-{(9n)/(n＾2)}＋2/(n＾2)
=3と考えたら
13/108になったのですが合ってますか？

回答No.5

mgsinx

mCn
=m!/(n!(m-n)!)
=m(m-1)(m-2)…(m-n+2)(m-n+1)(m-n)(m-n-1)…2・1/[{n(n-1)…2・1}{(m-n)(m-n-1)…2・1}]
={m(m-1)(m-2)(m-3)…(m-n+2)(m-n+1)}/{n(n-1)(n-2)…2・1}
=mPn/n!
となります。
例えば、
5C2=(5・4)/(2・1)
4C3=(4・3・2)/(3・2・1)
8C4=(8・7・6・5)/(4・3・2・1)
です。
これを応用すると、
nC3={n(n-1)(n-2)}/(3・2・1)
6nC3={6n(6n-1)(6n-2)}/(3・2・1)
となります。

お礼

nという文字を使うと難しい感じがしたのですが、意外と簡単なんですね。
最後まで教えてくれてありがとうございました。
とても丁寧で分かりやすかったです。

補足

lim(n→∞)Pnを教えてください
例えば
3(n-1)(n-2)は
=3(n＾2)-9n＋2
={(3n＾2)/(n＾2)}-{(9n)/(n＾2)}＋2/(n＾2)
=3と考えていいですか？

回答No.4

mgsinx

＞(nC3)/(6nC3)
＞=ｎ!/{3!*(n-3)!} * {3!*(6n-3)!}/6!
の最後は6!ではなく6n!です。
=ｎ!/{3!*(n-3)!} * {3!*(6n-3)!}/6n!
={n!/(n-3)!}{(6n-3)!/6n!}
={n(n-1)(n-2)(n-3)…2・1 / (n-3)…2・1}{(6n-3)…2・1 / 6n(6n-1)(6n-2)(6n-3)…2・1}
={n(n-1)(n-2)}/{6n(6n-1)(6n-2)}
となります。

もっと簡単にやるならば、
(nC3)/(6nC3)
={n(n-1)(n-2) / 3・2・1} / {6n(6n-1)(6n-2) / 3・2・1}
={n(n-1)(n-2)}/{6n(6n-1)(6n-2)}
となります。

補足

={n(n-1)(n-2) / 3・2・1} / {6n(6n-1)(6n-2) / 3・2・1}
のn(n-1)(n-2) と6n(6n-1)(6n-2) がよくわかりません。

回答No.3

mgsinx

予備知識として、（以下の内容は高校で習います）
【積の法則】
事象Aの起こり方がa通りで、その各々の場合について事象Bの起こり方がb通りのとき、AとBが同時に起こる起こり方はab通りである。
このことは、樹形図を書くとわかりやすいかもしれません。

【余事象】
事象Aについて、「事象Aが起こらない」という事象を、事象Aの余事象と言います。
事象Aが起こる確率をaとすると、事象Aの余事象の確率（事象Aが起こらない確率）は、1-aです。

まず、積の法則を使って全ての表裏の組み合わせの数を求めます。
事象Aがコイン1の表裏、事象Bがコイン2の表裏に対応します。
事象Aは表と裏の2通りなので、a=2です。
事象Bも表と裏の2通りなので、b=2です。
事象Aと事象Bの組み合わせの数はab=2×2通りです。

両方表が出る確率を求めます。
両方表が出る場合はa=b=1なので、組み合わせの数はab=1×1通りです。
よって、両方表が出る確率は(1×1)/(2×2)=1/4です。

「PがAを渡される」事象の余事象は「PがAを渡されない」事象=「PがBを渡される」事象です。
「PがAを渡される」事象が起こる確率は3行上で求めたように1/4なので、「PがBを渡される」確率は1-(1/4)=3/4です。

どうもうまく説明できなくてすみません。

補足

説明は分かりやすいですよ。
どうもありがとうございます。
(i)白玉3個、黒玉0個の確率は{n(n-1)(n-2)}/{6n(6n-1)(6n-2)}について教えてください
計算式は
3/4*{(nC3)/(6nC3)}をもとめると思うのですが答えが合いません
nC3＝ｎ!/{3!*(n-3)!}
6nC3=6n!/{3!*(6n-3)!}
{(nC3)/(6nC3)}を先に計算するとき
ｎ!/{3!*(n-3)!} ÷　6n!/{3!*(6n-3)!}
=ｎ!/{3!*(n-3)!} * {3!*(6n-3)!}/6!
3!は約分できるので

=ｎ!/{(n-3)!} * {(6n-3)!}/6!
からどのように計算するのでしょうか？

回答No.2

mgsinx

#1の者です。
まずコインは2枚あり、それぞれに表と裏があることから、この2枚のコインの表裏の組み合わせは
(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)
の4つになります。
この4つは互いに同じ確率で起こります。
よってPがAを渡されるのは(表,表)のときなので、その確率は1/4となります。
同様に、Bが渡されるのは(表,裏),(裏,表),(裏,裏)のときなので、その確率は3/4となります。

これを計算で表すと、それぞれのコインに表・裏の2パターンがあるので全ての表裏の組み合わせの数は2×2、両方表の組み合わせの数は1×1となり、(表,表)の確率は(1×1)/(2×2)=1/4
Aが渡される場合以外はBが渡されるので、Bが渡される確率は1-(1/4)となります。（Bが渡される事象はAが渡される事象の余事象となります。）

補足

＜＜
まずコインは2枚あり、それぞれに表と裏があることから、この2枚のコインの表裏の組み合わせは
(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)
の4つになります。
この4つは互いに同じ確率で起こります。
よってPがAを渡されるのは(表,表)のときなので、その確率は1/4となります。
同様に、Bが渡されるのは(表,裏),(裏,表),(裏,裏)のときなので、その確率は3/4となります。
までは理解できました

それぞれのコインに表・裏の2パターンがあるので全ての表裏の組み合わせの数は2×2、両方表の組み合わせの数は1×1となり、(表,表)の確率は(1×1)/(2×2)=1/4
Aが渡される場合以外はBが渡されるので、Bが渡される確率は1-(1/4)となります。（Bが渡される事象はAが渡される事象の余事象となります。）についてわからないのでおしえてください

回答No.1

mgsinx

まず、Qが誤った判断をするというのには
（１）QはAと判断したが実際はBだった。
（２）QはBと判断したが実際はAだった。
の２つのパターンが考えられます。
（１）と（２）の事象は同時には起こらない（互いに排反である）ので、Qが誤った判断をする確率は（１）と（２）が起こる確率を足した値になります。
そこで、（１）と（２）が起こる確率をそれぞれ求めます。

（１）
最初に、
(a)
QがBを渡される確率は1-(1/4)=3/4
(b)
PがBの中から3個を取り出したとき、白玉の方が黒玉より多い確率（=PがAを渡されたと判断する確率）を求める。
3個の玉のうち白玉が多いパターンは(白,黒)=(3,0),(2,1)の2通り。
(i)白玉3個、黒玉0個の確率は{n(n-1)(n-2)}/{6n(6n-1)(6n-2)}
(ii)白玉2個、黒玉1個の確率は{n(n-1)5n}/{6n(6n-1)(6n-2)}
(i)と(ii)は互いに排反なので、単純に確率の和を出すと、(n-1)/{6(6n-1)}
よって、（１）の確率は(3/4)×(n-1)/{6(6n-1)}=(n-1)/{8(6n-1)}

（２）
同様に求めると、（２）の確率は(1/4)×(2n-1)/{3(6n-1)}=(2n-1)/{12(6n-1)}

（１）と（２）の確率の和の極限をとると求める答えは3/16。
（１）と（２）の確率の和は、一つの分数にまとめないまま極限をとった方が簡単です。
間違っていたら困るので、遠慮無く言ってください。

補足

回答していただきどうもありがとうございます。
早速の質問なのですが
QがBを渡される確率は1-(1/4)=3/4
と
QがＡを渡される確率1/4
はどのようにして現われたのでしょうか？