確率

質問

kを2以上の整数とする。硬貨を繰り返し投げて、表の出た回数がk回になるか、あるいは、裏の出た回数がk回になった時点で終了とする。
(1)k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率P(n)を求めよ。
(2)k≦n≦2k-2を満たす整数nに対して、P(n+1)/P(n)を求めよ。
(3)P(n)を最大にするnを求めよ。

(1)はn-1回目までに表がk-1回出てn回目に表が出る場合とn-1回目までに裏がk-1回出てn回目に裏が出る場合に分けて求めた結果P(n)=(n-1)!/2{n-1}(k-1)!(n-k)!となりました。
(2)は(1)のP(n)からP(n+1)を求めて計算しようとしたのですが計算がよくわからなかったので教えてください。
(3)は(1)のP(n)で分母が最小かなと考えたのですができませんでした。

よろしくお願いします

回答No.2

kumipapa

＞　(1)k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して、ちょうどn回で終了する確率P(n)を求めよ。
2{n-1} というのは「2の n-1 乗」という意味だろうか。n 個からm 個取り出す組み合わせ（コンビネーション）を Ｃ (n,m) と書くことにすれば、
P(n) = 2×{Ｃ (n-1,k-1) × (1/2)^n } = Ｃ (n-1,k-1) ×(1/2)^(n-1)
ということで質問者さん正解。
問題文に「k≦n≦2k-1を満たす整数nに対して」とわざわざ書かれているが、n≦k-1, n ≧ 2k において P(n) = 0 である（そのような場合はありえない）ことは押さえておこう。

＞ (2)k≦n≦2k-2を満たす整数nに対して、P(n+1)/P(n)を求めよ。
＞ (3)P(n)を最大にするnを求めよ。
P(n) の最大値を求める場合に、P(n+1) / P(n) を求めるのは (2) の設問が無くても気づきたいところ。つもり、P(n+1) / P(n) から P(n) の増減を調べるのがが常套手段であり、(2) の設問無しで直接 (3) を解かせる場合が多いように思う。
P(n+1) は上式の n に n+1 を代入して、
P(n+1) = Ｃ (n,k-1) × (1/2)^n
これより
P(n+1) / P(n) = n / { 2 (n - k + 1) }
は普通に計算すれば求められる。

P(n+1) / P(n) = n / { 2 (n - k + 1) } ≧ 1　・・・(＊)
を解けば、
n ≦ 2k - 2
であり、(＊) の等号を成立させるのは n = 2k - 2 のときであるから、
P(k) ＜ p(k+1) ＜ ・・・ ＜ P(2k - 2) ＝ P(2k - 1)
がいえる。
n＜k, n≧2k において P(n) = 0 であるから、P(n) を最大とする n は 2k - 2 と 2k - 1

この問題のように、P(n) を最大にする n が一つとは限らないことに注意。つまり、（＊）の等号を成立させるｎがあるかどうかは注意深く考えなければいけません。間違いやすいと思うなら、慣れるまで P(n+1)/P(n) ＞ 1, P(n+1) / P(n) = 1, P(n+1) / P(n) ＜ 1 をそれぞれ解いて、P(n) の増減を調べる（１回解いてみればすぐ分かるでしょう）。

＞　(3)は(1)のP(n)で分母が最小かなと考えたのですができませんでした
分子にも変数 n があるんだから、分母が最小になるだけではダメなことは分かっているんでしょう？

お礼

ありがとうございます
だいたいわかりました

回答No.1

Kules

(2)
(1)の答えの確認はちゃんとはしていませんが多分そんな感じです。
そこからP(n+1)を出すとn!/2^n(k-1)!(n+1-k)!みたいになるはずです。
ここである自然数AにおいてA!=A×(A-1)!となることを使ってまじめに
P(n+1)/P(n)を計算すれば！はごっそり消えていくはずです。

(3)(2)で出した答えをPとすると、P>1⇔P(n+1)の方がP(n)より大きい、逆もまた然りです。では初めはP>1だったのに途中でP<1になったとしたらP(1)～P(n)の大小関係はどうなっているでしょうか？
あとは頑張って考えてください。

お礼

ありがとうございます