曲率（と捩率）の符号は、数式上ではどうやって決めるのですか？

質問

問題を解いているときに思ったことなのですが、
曲率（と捩率）の符号は、数式の処理上ではどうやって決めるのでしょうか。
やっていた問題は以下のようなものです。

R,bを定数とし、θをパラメータとしたときの螺旋
( Rcosθ , Rsinθ , b*θ )
について、
接線ベクトルt（大きさ１の物を指す、以下同様）、法線ベクトルn、
陪法線ベクトルb、曲率κ、捩率τを求めよ。

とりあえず微分してtを求め、さらに微分すると
dt/ds = ( (-Rcosθ)/(R^2 + b^2) , (-Rsinθ)/(R^2 + b^2) , 0 )
となります。
そしてフレネ-セレの公式より、これは κ*n に等しい。
・・・と、ここからなのですが、
このとき、κ が
±R/(R^2 + b^2)
のどちらなのか、というのは数式上ではどうやって決めればいいのでしょうか。
つまり、マイナスの符号は κ と n のどちらに吸収（？）されるのでしょうか。
幾何的に考えれば、この螺旋は左回りなので符号は+ということがわかりますが、
逆に言えば、幾何的にイメージ出来ないものはどうするのでしょうか。
捩率についても同様です。
（この場合はtとnが出るので、倍法線ベクトルと捩率の定義から決めることができるのですが・・・。）

宜しくお願いします。

回答No.2

felicior · ベストアンサー

曲線を局所的に円弧で近似したときの円の半径(曲率半径)の逆数が曲率κですね。
二次元平面内の曲線ならまず法線ベクトルｎを常に曲線の片側を向く単位ベクトルと定義し、
それに対してどちら側が凸か(つまりどちら側に円が接するか)によって曲率κの正負を定義
することが可能です。
しかし三次元空間では曲線の周りの自由度が二次元なので同じようにはいかず、接点から円の
中心方向の単位ベクトルを主法線ベクトルｎとし、κは常に正と定義するしかないわけです。

捩率τは曲線が接点の両側でこの接円を含む平面(接平面)から逸れていく度合いです。この
接平面は接線ベクトルｔと主法線ベクトルｎの成す平面ですが、その裏表は自然には決まら
ないため、外積ｔ×ｎで機械的に決めます(座標系の右手/左手系に依存)。これが陪法線
ベクトルｂですね。接円の接点から＋ｔ方向に進んだとき曲線が接平面から＋ｂ方向に
逸れていくとき、捩率τが正となるよう定義されています。このとき、－ｔ方向に進めば－ｂ
方向に逸れます。よってτの符号は曲線の向きに依存しません。右手系の座標系では右ねじ
の螺旋(oriyamaさんのおっしゃる左回りの螺旋)がτ>0です。

ちなみに
>> τ = <dn/ds,b>
これの意味はdn/dsとbの内積で、dn/dsのb方向成分です。フルネセレーの第二式から明らか
ですね。こちらのほうが上の感覚的な説明をそのまま定式化したものだと思います。

>> db/ds = -τn
これが成り立つのは私にはむしろ意外ですね。

お礼

非常にわかり易く丁寧な回答、
どうもありがとうございました！

回答No.1

alice_44

捩率の定義は κ = |dt/ds| だから、κ は常に正。

http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/msie/gr-thesis/ms/2007/04mm093.pdf

お礼

回答ありがとうございます。

曲率の符号が正の時は左回り、
負の時は右回り、というのは違う話なのでしょうか？

あと、少しそれますが、該当ページの
τ(s) = <dn(s)/ds,b(s)>
の意味（式の意味）がわかりません・・・。
自分は
db/ds = -τn
という定義で捩率を知りました。