平面z=f(x,y)がz軸に平行にならないように。

質問

xyz空間内の平面z=f(x,y)がz軸に平行とならないように条件をつけたいとき、どうすればいいのでしょうか？またそれは必要十分条件になりますか？
　fのx、yでの一階微分が存在すればいいんでしょうか・・・・・？
　数学が苦手なのですみませんが教えてください。

回答No.2

Tacosan

そもそも平面の方程式を
z = f(x, y)
と書いた時点で「z軸に平行な平面」は排除されているのでは?

回答No.1

psuedoase

数学が専門でないので、間違っているかもしれませんが、平面に対しての法線ベクトル（平面に直角のベクトル)が(a,b,c)だとします。
すると仮に(xo,yo,zo)という点を含んだ平面だとすると
f(x,y,z)=a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0
と書けますよね？

もう一度法線ベクトルを考えると、平面に直角なベクトルですから、
図的に考えみてください。平面がZ軸に平行になる時は、法線ベクトルがZ軸に対して直角に成るときですよね？

つまりZ軸に平行というのは、その法線ベクトルが一切Zを含まない、と言う事に言い換えれると思います。
つまり　法線ベクトルが(a,b,0)の時平面f(x,y,z)はZ軸に対して平行だということです。

つまりf(x,y,z)=a(x-xo)+b(y-yo)=0の時平面はZ軸に平行だと言えると思います。

なので、法線ベクトルにZ成分が含まれている平面関数が条件なのではないでしょうか？

説明が下手で申し訳ありませんが、
http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/kuukan-to-bekutoru/heimen-no-houteisiki.html

こちらのサイトで法線ベクトルなどを説明されているので、是非チェックして見てください。