曲面z=f(x,y)=x^2+y^3上の(x,y)=(1,-1)に対応

質問

曲面z=f(x,y)=x^2+y^3上の(x,y)=(1,-1)に対応する点における接平面の式として正しいものを、次の[1]～[4]の中から一つ選べ。
[1]z = 2x - 3y + 1
[2]z = 2x + 3y + 3
[3]z = 2x + 3y + 1
[4]z = 2x + 3y

…という問題だとしたら、答えはなんでしょうか？(実は問題に少し意図的な仕掛けがしてあります)

自分で途中までやってみますと
f(1,-1)
= 1^2 +(-1)^3
= 1 - 1
= 0

f_x = 2x
f_y = 3y

f_x(1,-1) = 2
f_y(1,-1) = -3

ここまでは合っていますよね？
接平面の方程式は
z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
ですよね？
では、お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>ここまでは合っていますよね？
間違っています。

誤：f_y=3y
正：f_y=3y^2

誤：f_y(1,-1) = -3
正：f_y(1,-1) = 3

>接平面の方程式は
>z = f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0) + f(x_0,y_0)
>ですよね？
この公式は合っています。

正しい答えは
>[3]z = 2x + 3y + 1
です。

お礼

実は、投稿して自分で読んで初めて

誤：f_y=3y
正：f_y=3y^2

に気付きました。
本番ではその間違いのまま、f_y(1,-1) = -3で計算したので
z = 2x - 3y - 5
になってしまい、勘で[1]を選んでしまいました…。あーあ。
単純ミスに気を付けますね。
ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

微分なんかしてないで、(x,y) = (1,-1) + (h,k) を代入しよう。
z = (1+h)^2 + (-1+k)^3 = (1 + 2h + h^2) + (-1 + 3k - 3k^2 + k^3) = 0 + 2h + 3k + (h^2 - 3k^2 + k^3)
h,k について一次近似して、z ≒ 2h + 3k。これは、接平面が z = 2h + 3k であることを示している。
最初の式を使って、x,y の式に戻せば、z = 2(x-1) + 3(y+1) = 2x + 3y + 1。　答えは、[3]。

お礼

そんな方法があるんですね。なるほど、一次近似は平面を表しますものね。特に今回のように、べき乗が大きくない場合は使えそうですね。これはそのまま二次近似、三次近似と拡張できるんでしょうかね。面白そうです。ありがとうございました。