フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式の解き方

質問

フーリエ級数展開を用いた偏微分方程式(2次元ラプラス方程式)の問題を教えてください。
似た問題は解けますが、これがどうしてもわかりません。
できれば変数分離法でお願いします。
問題に間違いはありません。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

0≦x≦π
0≦y
u_xx+u_yy=0
u(0,y)=u(π,y)=0
u(x,0)=3sinx
u(x,y)=f(x)g(y)
とすると
u_xx=g(y)f"(x)
u_yy=f(x)g"(y)
u_xx+u_yy=g(y)f"(x)+f(x)g"(y)=0
f(x)g"(y)=-g(y)f"(x)
g"(y)/g(y)=-f"(x)/f(x)=a
f"(x)+af(x)=0
g"(y)-ag(y)=0
u(x,0)=f(x)g(0)=3sinx
-3asinx=-af(x)g(0)=f"(x)g(0)=-3sinx
a=1
f"(x)+f(x)=0
g"(y)-g(y)=0
f(x)=(c0)cosx+(c1)sinx
g(y)=(c2)e^y+(c3)e^{-y}
u(x,y)=[(c0)cosx+(c1)sinx][(c2)e^y+(c3)e^{-y}]
u(0,y)=(c0)[(c2)e^y+(c3)e^{-y}]=0
u(π,y)=-(c0)[(c2)e^y+(c3)e^{-y}]=0
c0=0
u(x,y)=(c1)(sinx)[(c2)e^y+(c3)e^{-y}]
u(x,0)=(c1)(c2+c3)sinx=3sinx
(c1)(c2+c3)=3
∴
u(x,y)=(sinx)[Ce^y+(3-C)e^{-y}]