流体力学 複素ポテンシャル

質問

次の問題が（１）から（5）まで正しいかどうかご指摘ください。お願いします。

問題

複素ポテンシャルW(z)=Az^2(Aは正の実数、zは複素数でz=x+iy）について以下の問いに答えよ。

（１）流れ関数Ψを求めよ。

（2）xy平面上に流線を描き、各流線上に流れの向きを表す矢印をつけなさい。

（3）xy平面上の原点と(x,y)=(b,b)を結ぶ線分を横切る流体の体積流量を求めよ。

（4）xy平面上で、0<=x<=b,0<=y<=bの正方形経路上の循環を求めよ。

（5）この正方形領域内で流体に作用するy方向の力の大きさと向きを求めよ。ただし流体の密度をρとし、奥ゆきは単位長さとする。
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(自分の解答）

（1）W=φ＋iΨyより

　　　φ＝A(x^2-y^2)
　　　Ψ＝2xyA

(2)Ψ＝2xyAより漸近線をx,y軸とする直角双曲線となる。

　　流れの向きとはどのようにしたらわかるのでしょうか？

(3)流量は流線の差から求められるので
　　Ψ(b，b)-Ψ（0，0）＝2Ab^2

(4)
　　　u=∂φ/∂x=2Ax, v=∂φ/∂=-2Ayより速度ベクトルV=(2Ax、ー2Aｙ、0）

　　　よって渦度は
　　　　　渦度=(0，0，0)
　　　よって渦度が0なので循環も0

(5)
　　　連続の式より
　　　　　du/x+dv/y=2A-2A=0
よってこの流れは非圧縮性流体とわかる。

　　　　y軸方向の力をF_yとおくとオイラーの方程式より

　　　　(∂v/∂t+u∂v/∂x+v∂v/∂y)=F_y

　　　　　F_y=4A^2y

　　　　よってF_yb-F_y0＝4A^2b-4A^2y*0＝4A^2b　となりy軸の負の方向に生じる。

回答No.1

superkamecha · ベストアンサー

こんばんは。
質問文での解答、（４）までは完璧です。
流れの方向は、速度成分を見れば判りますね。（２）で算出されているように、Ａ＞０の場合、第一象限（ｘ＞０、ｙ＞０）では、ｕは常に正、ｖは常に負ですから、流れは「左上」から「右下」方向ですね。
さて、（５）が違っています。　ρが抜けているのは”ご愛嬌”でしょうが、それだけじゃなくて、、、
オイラー式で表されているF_yは、これはフィールド内の１点に注目して、そこに存在する流体粒子に作用する局所的な力（つまり「応力」）の成分ですから、「検査領域で流体にかかる力」のトータルを計算するには、これを検査領域に渡って面積分しなければならないはずです。
つまり、F_y・ｄｘ・ｄｙをそれぞれ０からｂまで積分することになり、したがって、答えは、ρ・２Ａ＾２・ｂ＾３となるはずです。これが、流体”に”作用している力で、正値ですから、向きは上方向ということになります。（流れは、その方向；上へ曲げられているのです）

お礼

＞流れの方向は、速度成分を見れば判りますね。（２）で算出されているように、Ａ＞０の場合、第一象限（ｘ＞０、ｙ＞０）では、ｕは常に正、ｖは常に負ですから、流れは「左上」から「右下」方向ですね。

なるほど、腑に落ちました。

（５）の問題もわかりやすかったです。ご回答ありがとうございました。