実数の個数は無限個？

質問

0～2までの範囲には，無限（個？）の実数が存在します．いくらでも小さい位の数が考えられるからです．

次に，範囲を半分にして，0～1の範囲を考えても，やはり無限（個？）の実数が存在します．範囲の大きさに限らず，実数の個数は無限個で，等しいのでしょうか？幅が半分に狭まっても，同じく無限個なんて，なんだか変な感じです．

それとも0～2の範囲の無限個は，0～1の範囲の無限個の2倍あるけれども，無限に達してしまうと無限以外の呼び方がないので，等しく”無限”という言葉で表現されている，ということなのでしょうか？

そもそも無限個などと実数の個数を数えるという発想が間違っているのでしょうか？

考えるほどこんがらかってきます．アドバイスをお願い致します．

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

無限集合の要素の「個数」を数えることはできない(無限だからね！)が、
集合間に一対一の対応がつけられるかどうかを考えることはできる。
これを個数の代わりにして、無限集合のどちらが大きいかを考える場合はある。
0<x<2 の範囲の実数 x と 0<y<1 の範囲の実数 y は x=2y で対応するから、
ソノ意味では、同じ大きさの集合だと言ってもいいことになる。

"集合 濃度" をキーワードに google してみたら？

お礼

御教授、ありがとうございました。たいへんわかりやすく、参考になりました。

回答No.4

rinkun

質問はある意味で無限の本質を突いています。
実際、無限集合の定義の一つとして
　　自身の真部分集合と一対一対応できる
というものがあるくらいです。
質問されたことは無限の持つ重要な“性質”の一つです。

なお、“無限”はすべて一緒かというとそういうことはなく、たとえば実数の数は自然数の数より多いことが分かっています。
詳細は、集合論、濃度、基数などのキーワードで調べると良いでしょう。

お礼

おお！同じく”無限”と呼ばれているものでも、多い少ないがあるのですね。勉強して、理解を深めたいと思います。たいへんありがとうございました。

回答No.3

zeta0208

確かに無限の概念は難しいですよね。
自然数と偶数はどちらが多いかなんて理解できますか？
自然数から奇数を除いたものが偶数だから自然数の方が多い？それとも自然数×２が偶数だから同じ？なんてね。同じ無限でも密度というものがあるらしい。
質問に対する回答にはなっていませんが・・・

ま、無限に関する難しい話はさて置き、無限に関して数学的に興味があるのであれば、ゲオルク・カントールという人物について調べてみるといいですよ。まあ軽くＷｉｋｉででも。
後、アミール・D・アクゼル『「無限」に魅入られた天才数学者たち』青木薫訳、 早川書房　という本をばらばらっと読んでみるのもいいかも。

お礼

ご回答いただき、ありがとうございます。無限の密度というものに、関心がわいてきました。勉強してみます。

回答No.1

picknic

いや、いいところに頭使っていると思うよ。

集合論をやると、こんがらがっていたものが整理されると思う。

お礼

貴重なアドバイス、たいへんありがとうございました。集合論、勉強します。