不等式の証明(ベクトル

質問

|→a + →b|≦|→a| + |→b| 内積の定義と性質のみを使ってを証明してください

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

数学Bで内積の定義は、
θをa↑とb↑のなす角として(a↑・b↑)=|a↑||b↑|cosθ・・・(ア)
又は
a↑=(a1,a2)、b↑=(b1,b2)として(a↑・b↑)=a1b1+a2b2・・・・・(イ)
与式の両辺は正なので、左辺の二乗≦右辺の二乗を証明する。
a↑+b↑=(a1+b1,a2+b2)より(イ)を使って
与式の左辺の二乗=|a↑+b↑|^2=(a1+b1)^2+(a2+b2)^2
=(a1^2+a2^2)+(b1^2+b2^2)+2(a1b1+a2b2)
=|a↑|^2+|b↑|^2+2(a↑・b↑)
(ア)より2(a↑・b↑)=2|a↑||b↑|cosθ≦2|a↑||b↑|
よって与式の左辺の二乗=|a↑|^2+|b↑|^2+2(a↑・b↑)
≦|a↑|^2+|b↑|^2+2|a↑||b↑|=(|a↑|+|b↑|)^2
=与式の右辺の二乗　　　　 (証明終わり)

回答No.2

NemurinekoNya

0≦|→a + →b|
0≦|→a| + |→b|
なので、問題の左辺、右辺を２乗しても大小関係は変わらない。

|→a + →b|^2 = (→a+→b, →a+→b) = (→a,→a) + 2(→a,→b) + (→b,→b)
= |→a|^2 + 2(→a,→b) + |→b|^2　 　　　　　　　　（１）
(|→a| + |→b|)^2 = |→a|~2 + 2|→a||→b| + |→b|^2　　　　　　　　（２）

（２）ー（１） = 2|→a||→b| ー 2(→a,→b) = 2|→a||→b|(1-cosθ) ≧　0
よって、
|→a + →b|^2 ≦ (|→a| + |→b|)^2
|→a + →b| ≦ |→a| + |→b|

(→a, →b)はベクトルの内積の意味。
θは→aと→bのなす角度で、0(rad)≦θ≦π(rad)。

みたいなかんじ。

回答No.1

ferien

＞ |→a + →b|≦|→a| + |→b|内積の定義と性質のみを使ってを証明してください
両辺とも正なので、２乗して比べます。→省略します。
（｜ａ｜＋｜ｂ｜）^2－｜ａ＋ｂ｜^2
＝｜ａ｜^2＋２｜ａ｜｜ｂ｜＋｜ｂ｜^2－｛｜ａ｜^2＋２（ａ・ｂ）＋｜ｂ｜^2｝
＝２｛｜ａ｜｜ｂ｜－（ａ・ｂ）｝
ここで、｜ａ｜｜ｂ｜－（ａ・ｂ）≧０……（１）を証明します。
｜ｔａ＋ｂ｜^2（ｔは実数）
＝｜ｔａ｜^2＋２（ｔａ・ｂ）＋｜ｂ｜^2
＝（｜ａ｜^2）ｔ^2＋２ｔ（ａ・ｂ）＋｜ｂ｜^2≧０
これはｔについての２次式だから、すべてのｔについて成り立つためには、
判別式Ｄ≦０であれば良いから、
Ｄ／４＝（ａ・ｂ）^2－｜ａ｜^2｜ｂ｜^2
＝｜（ａ・ｂ）｜^2－（｜ａ｜｜ｂ｜）^2≦０より、
｜（ａ・ｂ）｜^2≦（｜ａ｜｜ｂ｜）^2
両辺とも正だから、｜（ａ・ｂ）｜≦｜ａ｜｜ｂ｜より、（１）が成り立つ。
（１）より、（｜ａ｜＋｜ｂ｜）^2－｜ａ＋ｂ｜^2≧０
（｜ａ｜＋｜ｂ｜）^2≧｜ａ＋ｂ｜^2だから、
｜ａ｜＋｜ｂ｜≧｜ａ＋ｂ｜
よって、|→a + →b|≦|→a| + |→b|

でどうでしょうか？