不等式の証明－平方の差をとる場合

質問

高校数学からの質問です。
不等式の証明で両辺の差をとる場合、“Ａ＞０、Ｂ＞０のとき　Ａ≧Ｂ⇔Ａ^2≧Ｂ^2”という性質を使うと思うのですが、この性質の“Ａ＞０、Ｂ＞０のとき”　を　“Ａ≧０、Ｂ≧０のとき”と覚えていたのですが、これだと何か支障が出てくるでしょうか？例えば証明の記述問題で“Ａ≧０、Ｂ≧０のとき”という断り書きは原点対象になるでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

不等式は、両辺に同じ数をかけると、
・かける数が正のときは、不等号の向きは変わらない
・かける数が負のときは、不等号の向きが反転する
という基本的性質があります。

また、両辺にゼロをかけると、不等号は等号になってしまいます。

しかし、今回ご質問の件では、支障はありません。
ただ、Ａ≧Ｂ　で　Ａ＝０のとき、つまりＡ＝Ｂ＝０のとき、不等式（というか等式みたいですけど）Ａ≧Ｂの両辺を２乗するということは、両辺にゼロをかけるということなので、阿呆くさいとか見苦しいというケースがあるということだけです。

お礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.2

koko_u_

前提 “Ａ≧０、Ｂ≧０のとき”で「Ａ≧Ｂ⇔Ａ^2≧Ｂ^2」が成立するかどうかはわかっていますか？
補足にどうぞ。

成立するとわかっているとすれば、証明の記述問題で前提条件が緩いことで支障が出ることはないはずです。
あるいは何もわからずに証明を記述していればその「わかってさげな風」が減点対象となるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.1

looker1986

問題ないでしょう。
数学におけるこの手の微妙な問題は幾つかありますが、
その意味をよく理解していれば、恐れることはありません。

この同値関係は 関数y=x^2 が x≧0 のとき
単射かつ単調増加であることに由来しています。
y=x^2 のグラフを眺めてその意味するところを実感しましょう。

ちなみに、単調減少の場合は不等号の向きは逆になります。
１次不等式や指数を含む不等式、対数を含む不等式で
不等号の向きを逆にしたのはこれが原因です。

お礼

回答ありがとうござます。
大変参考になりました。