ネイピア数と極限

質問

lim[x→1/2]{e^(2x+1)-e^2}/{2x-1}
で極限を求めよ、なのですが、
x-1/2=tとして
lim[t→0]{e^(2(t+1))-e^2}/2t
と変形しました。
lim[x→0](1+h)^1/h=eはこの場合、
どのように使えばいいのでしょうか？

回答No.2

nettiw

f(x)=e^x,,,f'(x)=e^x,,,f'(0)=1
　f'(0)=lim<h→0>[e^h-e^0]/[h-0]=1

　2x-1=h
　2x+1=h+2

　 　lim<x→1/2>[e^(2x+1)-e^2]/[2x-1]
　=lim<h→0>[e^(h+2)-e^2]/h
　=(e^2)・lim<h→0>[e^h-e^0]/[h-0]
　=(e^2)・f'(0)
　=・・・　。
.....
(logx)'
=lim[h→0] [log(x+h)-log(x)]/h
=lim[h→0] log[(1+(h/x))^(1/h)]
=(1/x)・lim[(h/x)→0] log[(1+(h/x))^(x/h)]
=(1/x)・log(e)=(1/x)

y=e^x
x=log(y)
dx/dy=(1/y)=1/(e^x)
dy/dx=e^x　　。
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回答No.1

debut

e^(2(t+1)=e^(2t+2)=e^2*e^(2t)なので、分子はe^2で因数分解すれば、e^2{e^(2t)-1}です。
ここでf(x)=e^xとおくと、
lim[t→0]{e^(2t)-1}/(2t)
=lim[2t→0]{f(2t)-f(0)}/(2t-0)
=f'(0)=1です。