正五角形の対角線の長さ

質問

正五角形の1辺の長さが「１」であるとき、その対角線の長さ φ を簡単に求める方法はないでしょうか？

　また、頂点から、対角線が交差するまでの長さ　1/φ　を導き出す方法も、ぜひ教えて下さい。

解は、φ ＝ (1 + √5) / 2 であるようですが。

回答No.8

nakaizu · ベストアンサー

正五角形の対角線の長さは中学校卒業程度の知識で十分求めることができます。ただし、相似を使いますが、最近の中学校では相似を習わないかもしれません。
さて、正五角形ABCDEの対角線BD,CEの交点をFとします。CDの長さを１、BEの長さをφとします。
BEとCDが平行であることはわかりますね。
錯角が等しいことを利用すると三角形FBEと三角形FDCは相似になることがわかります。
また、よく見れば四角形ABFEがひし形であることが分かります。
よってBF=EF=1となります。また、FC=FD=φ-1であることもわかります。
相似な三角形の対応する辺の比はひとしいですから
φ:1=1:φ-1となります。
これからφの二次方程式ができますから、それを解けばよいのです。また、φ-1=1/φであることもこの式から導き出せます。

補足

お礼が遅くなってしまいました。
　図形で求めるのが一番直感的で分かりやすかったです。
　ありがとうございました。

回答No.7

arukamun

＞ｎ角形の内角の和は(n-2)*180°
＞が、何故そうなのかがどうも気になってしまいました。
＞三角形の場合は、180°は分かるのですが。

ｎ角形で１個の頂点から対角線を出来るだけ引きます。
そうすると、（ｎ－２）個の三角形が出来ますね。
三角形の内角の和は１８０°ですので、（ｎ－２）個を掛けた物が、ｎ角形の内角の和になり、（ｎ－２）×１８０°となります。

補足

連絡が遅くなってしまいましたが、色々と親切なフォローありがとうございました。

回答No.6

kony0

頂点から、対角線が交差するまでの長さが1/φというのは相似を利用して導出されたものと思われますが、その交差した点から反対側の頂点にたどりつくまでの長さは２等辺三角形が発見されるので１となります。
すなわち(1/φ)+○=△

回答No.5

arukamun

三角形の内角の和は180°
四角形の内角の和は2*180°=360°
五角形の内角の和は3*180°=540°
・・・
ｎ角形の内角の和は(n-2)*180°
です。
正五角形なので、内角の和を５で割れば良いんです。
540 / 5 = 108
これが二等辺三角形の頂点の各なので、残りの二角は
(180-108) / 2 = 36
ですね。

補足

ｎ角形の内角の和は(n-2)*180°
が、何故そうなのかがどうも気になってしまいました。
三角形の場合は、180°は分かるのですが。
　別途、質問をさてていただいた方が良いのかもしてませんね…。
　もう少し、理解するには時間がかかりそうです。

回答No.4

kiyotta

正五角形の内角は108°です。
これが二等辺三角形の大きいほうの角となります。
ですから残りの2角は、
(180°-108°)/2=36°です。

補足

「正五角形の内角は108°」ということも知りませんでした。が、二等辺三角形の残りの2角は、それぞれ、36°というのは、これで理解できました。
　なんか、知識の前提が、低くてすみませんデス。

回答No.3

kiyotta

共通の辺の長さが1/φである二等辺三角形と
それに相似な、共通の辺の長さが(φ-1/φ)である二等辺三角形があります。

この二つの二等辺三角形の相似比は
1：φ です。φはすでに出ていますからこの相似比を使えば、すぐに答えが出ます。

回答No.2

arukamun

108°= 3π/5
36°= π/5
36°= π/5
の二等辺三角形の
二辺の長さが１
で底辺の長さを求めよ
という事ですね。

φ = 2*cos(36°) = 2*cos(π/5) = (1+√5)/2

確か
cos(π/5) = (1+√5)/4
という式があった様な気が・・・

補足

感覚的には、

cos(2π / 5) = (1+√5)/2 になりそうな感じはするんです。。そうですよね。

　でも疑問なんです。求めるには、Deg. で考えるより　Rad. で考える方がすっきりすのでしょうか？

回答No.1

kiyotta

対角線を引いたときにできる二等辺三角形を、二つの直角三角形に分けて考えると、

φ/2=cos36°=(1 + √5)/4

よってφ ＝ (1 + √5) / 2 です。

補足

早い回答、ありがとうございます。

　ただ、利用した二等辺三角形は分かるのですが、その二等辺三角形の角度が、何故３６°を持つかも分からない理解の程度なのですみません。

　また、cos36°=(1 + √5)/4 になるのかも分からないくてすみません。

　もし、そのあたりも含めて補足していただけるのならば、よろしくお願いします。