正五角形 ベクトルの問題

質問

「原点Oを中心とする半径１の円に内接する正五角形A1A2A3A4A5に対し、∠A1OA2＝θとする。
(1)OA3ベクトルをOA1ベクトル,OA2ベクトル、θを用いて表せ。
(2)OA1+OA2+OA3＋OA4+OA5＝０を示せ（ベクトルです）
(3)１＋２OA1・OA2＋２OA1・OA3＝０を示し、cosθを求めよ。

この問題に取り組んでいます。
(1)はOA3＝２cosθOA2－OA1となって、
(2)も以前同じような問題を解いたことがあったのですぐにできました。
(3)も正五角形の対角線の長さを求めることによりcosθの値は（-1+√5）/4とわかったのですが、
前半の１＋２OA1・OA2＋２OA1・OA3＝０が示せませんでした。計算してみても０にもっていけませんでした。何か特殊な方法を使うのでしょうか？
回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

OA1・（OA1+OA2+OA3+OA4+OA5)
を展開し、
OA1・OA1 = 1
OA1・OA2=OA1・OA5
OA1・OA4=OA1・OA3
を使って書き換えます。あとは(2)を使うだけ。