高次導関数について教えてください

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高次導関数について教えてください

回答No.1

ferien · ベストアンサー

２回微分するだけです。
（１）ｙ＝（sinｘ＋cosｘ）ｅ^x
積の微分
ｙ'＝（sinｘ＋cosｘ）'・ｅ^x＋（sinｘ＋cosｘ）・（ｅ^x）'
＝（cosｘ－sinｘ）ｅ^x＋（sinｘ＋cosｘ）ｅ^x
＝２cosｘ・ｅ^x
ｙ''＝２（－sinｘ）・ｅ^x＋２cosｘ・ｅ^x
＝２（－sinｘ＋cosｘ）ｅ^x

（２）ｆ（ｘ）＝log｛ｘ＋√（x^2＋１）｝
ｕ＝√（x^2＋１）＝（ｘ^2＋１）^(1/2)として、
合成関数の微分
ｕ＝ｖ^(1/2)，ｖ＝ｘ^2＋１
du/dv＝(1/2)ｖ^(-1/2)，dv/x＝２ｘ
du/dx＝(1/2)（ｘ^2＋１）^(-1/2)・（２ｘ）

ｆ'（ｘ）＝｛ｘ＋√（x^2＋１）｝'／｛ｘ＋√（x^2＋１）｝
＝１＋(1/2)（ｘ^2＋１）^(-1/2)・（２ｘ）／｛ｘ＋√（x^2＋１）｝
分子＝１＋ｘ／（x^2＋１）
＝｛ｘ＋√（x^2＋１）｝／√（x^2＋１）
分子／分母＝［｛ｘ＋√（x^2＋１）｝／√（x^2＋１）］×［１／｛ｘ＋√（x^2＋１）｝］
約分できて、
ｆ'（ｘ）＝＝１／√（x^2＋１）
＝（x^2＋１）^(-1/2)
ｆ''（ｘ）＝(-1/2)（ｘ^2＋１）^(-3/2)・（２ｘ）
＝－ｘ／｛（ｘ^2＋１）√（x^2＋１）｝
ｘｆ'（ｘ）＝ｘ／√（x^2＋１）
（ｘ^2＋１）ｆ''（ｘ）＝－ｘ／√（x^2＋１）
より、ｘｆ'（ｘ）＋（ｘ^2＋１）ｆ''（ｘ）
＝ｘ／√（x^2＋１）－ｘ／√（x^2＋１）
＝０

計算を確認してみて下さい。