高次導関数について質問です。

質問

log(1+x^2)のn次導関数はどのようになりますか？

答えが知りたいです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

f(x)=log(1+x^2)
f'(x)=f^(1)(x)=2x/(x^2+1)
=1/(x+i) +1/(x-i)
f''(x)=f^(2)(x)=-1/(x+i)^2 -1/(x-1)^2
f^(3)(x)=2/(x+i)^3 +2/(x-1)^3
f^(4)(x)=(-1)^3*3!{1/(x+i)^4+1/(x-i)^4}
…
f^(n)(x)=(-1)^(n-1)*(n-1)!{1/(x+i)^n +1/(x-i)^n}

Im{f^(n)(x)}=(-1)^(n-1)*(n-1)!Im{(x+i)^n+(x-i)^n}/(x^2+1)^n =0
なので

f^(n)(x)=(-1)^(n-1)*2(n-1)!*cos(n*tan^-1(1/x))/(x^2+1)^(n/2)
(n=1,2,3,…)
となります。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

sunflower-san

複素数を使って書くと簡潔に
(-1)^(n-1)×(n-1)!×{(x+i)^(-n)+(x-i)^(-n)}
となります。
係数を実数の範囲で書く場合は、{}内を、
(x+i)^(-n)+(x-i)^(-n) = (1+x^2)^(-n)×2{x^n - nC2 x^(n-2) + nC4 x^(n-4) - ・・}
と書き直すこともできます。
ただし、式の中でnCkは二項係数を表すものとします。