微分の高次導関数

質問

exp(ax)cos(bx)のｎ次導関数を教えてください。

回答No.1

spring135

f(x)=exp(ax)cos(bx)

オイラーの公式を使って指数表示する。

g(x)=exp[(a+ib)x]=exp(ax)[cos(bx)+isin(bx)]

とすると

f(x)=Re[g(x)]

Reは実数部を示す。

微分演算によって実数と虚数が干渉することはないのでg(x)の微分後、実数部をとればf(x)となる。

f'(x)=Re[g'(x)]=Re{(a+ib)exp[(a+ib)x]}=exp(ax)Re{(a+ib)cos[(bx)+isin(bx)]}

=exp(ax)[acos(bx)-bsin(bx)]

f(n)(x)=Re[g(n)(x)]=Re{(a+ib)^n*exp[(a+ib)x]}

複素数の極座標表示を用いて

a+ib=[√(a^2+b^2)]exp(it)

t=arctan(a/b)

f(n)(x)=Re[g(n)(x)]=Re{(a+ib)^n*exp[(a+ib)x]}

=Re《{[√(a^2+b^2)]exp(it)}^n*exp[(a+ib)x]》

={[√(a^2+b^2)]^n}*Re{exp(nit)*exp[(a+ib)x]}

=(a^2+b^2)^(n/2)*exp(ax)*Re{exp(nit)*exp[(ib)x]}

=(a^2+b^2)^(n/2)*exp(ax)*Re{exp[i(nt+bx)]}

=(a^2+b^2)^(n/2)*exp(ax)*cos(nt+bx)