高次方程式の問題です。
高次方程式の問題です。
xの方程式x(x-3)(4x^2+4ax+a^2-9)=0…(1)がある。
[1](1)が異なる3個の実数解をもつような実数の定数aの値を求めよ。
[2]数直線上で(1)の4個の解が等間隔に並ぶようなaの値の個数を求めよ。
という問題なのですが、[1]は自力で解いたので添削をお願いします。
[2]の答えはちなみに4なのですが、どう考えたら良いか分かりませんでした。[2]はヒントだけでも教えて頂けたら幸いです。
[1]
4x^2+4ax+a^2-9…(2)の判別式をDとすると、D/4=4a^2-4(a^2-9)=9>0
∴異なる二つの実数解をもつ。
題意を満たすには、異なる二つの実数解のうち１つが０または３であればよい。
(i)(2)がx=0を解にもつとき、a^2-9=0 ∴a=±3
a=3のとき、4x^2+12x=4x(x+3)=0,x=0,-3
よって(1)の解はx=-3,0,3の３つ。
a=-3のとき、4x^2-12x=4x(x-3)=0,x=0,3
これは(1)の解が２つになるので、不適。
(ii)(2)がx=3を解にもつとき、36+12a+a^2-9=0,a^2+12a+27=(a+3)(a+9)=0 ∴a=-9,-3
a=-9のとき、4x^2-36x+72=0,x^2-9x+18=(x-6)(x-3)=0,x=3,6
よって(1)の解はx=0,3,6の３つ。
a=-3のとき、(i)と同様不適。
(i)(ii)より、a=3,-9
お礼
ありがとうございます！