極限の問題２

質問

０≦ａn≦Aｎとし、級数ΣAn(n=1から∞)が収束しているとする。このとき、級数Σａn(n=1から∞)も収束することを示せ。という問題です。わかる方お願いします！！！

回答No.2

masa072 · ベストアンサー

大学生の方であればNo.1の方の答のほうがいいですが、高校生の方ならもっと簡単に…

０≦an≦Anより、Σ０≦Σan≦ΣAn
ΣAnは収束するので、その収束値をαとすると、
０≦Σan≦α
より、Σanが収束することが示せた。q.e.d.

回答No.3

yumisamisiidesu

No2の回答は、単調増加列が有界なら(sup{an}に)収束する
という定理を知っていると大学でも通用する証明になると思います

回答No.1

yumisamisiidesu

コーシー列が収束列であることを利用します
sn:=Σ(k=1 to n)ak
Sn:=Σ(k=1 to n)Ak とすると
　|sn-sm|
= |a(m+1)+・・・+an|
≦|A(m+1)+・・・+An|
=|Sn-Sm|<ε

ε-δ論法は理解した上で、上を参考にして、解答を整理して下さい