無限個の成分をもつ座標の収束

質問

用語は分からないのですが、無限個の成分をもつ点

　（a_1 , a _2 , a_3 , ・・・・・） (各成分は実数）

からなる集合をGとし、和、スカラ倍は普通の線形空間のように定義します。

Gの二つの元、A＝（a_1 , a_2 , a_3 , ・・・・・）、B＝（b_1 , b_2 , b_3 , ・・・・・）の距離を定義したいのですが、

Σ（1/（2＾k））（a_k - b_k)^2　（kを1～∞までたしあげ）のようにしたとき、

１．何かおかしい点はあるでしょうか。

２．他にいい距離の定義の仕方はあるでしょうか

よろしくお願いします。

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

ANo.1です。一部修正。
l^2の距離は普通
sqrt（Σ（a_k - b_k)^2 ）
ですね。sqrtは平方根です。

補足

Σ（1/（2＾k））（a_k - b_k)^2　　に平方根をつけるのをわすれていました。これは距離にならにですね・・・。

成分は0、1、2、3しかとりえないとして、
　　　Σ（1/（2＾k））｜a_k - b_k｜
で定義したらどうでしょうか。

回答No.3

MagicianKuma

>２．他にいい距離の定義の仕方はあるでしょうか
d(a,b)=Σ(1/(2^k))・|a_k-b_k|/(1+|a_k-b_k|) とかがあるようです。
専門外なので詳しくは説明できませんが。

補足

書き込みありがとうございます。

l＾２空間が参考になることがわかってきました。

回答No.1

rinkun

１．
距離が無限大になる可能性があります。
例えば、a_k=2^kとして原点との距離を考えると・・・
２．
集合が質問のままだと難しいと思います。おそらく距離が定義できません。
一般的には集合に「原点からの距離(定義したもの)が有限になる」というような制限を与えます。
例えばl^2空間は、Σ（a_k)^2が有限になるような点列a=(a_k)からなる集合に距離を
　Σ（a_k - b_k)^2
で入れたものです。

補足

書き込みありがとうございます。

例えば、成分は0、１、２、３しかとりえない、としたらどうでしょうか。