命題論理

質問

次の同値式を付値関数を用いて証明せよ。

（１）A∨（B∧C）≡（A∨B）∧（A∨C）

（２）￢（A∧B）≡￢A∨￢B

どなたかお願いします

回答No.2

Caper · ベストアンサー

ANo.1 に添付した画像内の最下部中央に、小さな正方形がまぎれこんでしまいました。回答内容とは、無関係のものです。失礼いたしました。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.3

Caper

● 私の回答 ANo.1, ANo.2 は、まちがっているようですね。申しわけありませんでした。oegun36 さん のご回答を私は読んで、そのように思いました。

　 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1387790378

　「 付値関数の定義域は、命題変数 (= 原子式 ) のみを要素とする集合である 」と考えて、私は ANo.1, ANo.2 を投稿してしまいました。原始式以外の論理式も、定義域に加える必要があるようですね。

● oegun36 さん のご回答を参考に、私は別の答案を考えてみました。以下を、ごらんください。以下の答案もまちがっているかもしれませんが … 。

● and という二項演算を、次のとおりに定義します。
　 1 and 1 = 1
　 1 and 0 = 0
　 0 and 1 = 0
　 0 and 0 = 0

　 or という二項演算を、次のとおりに定義します。
　 1 or 1 = 1
　 1 or 0 = 1
　 0 or 1 = 1
　 0 or 0 = 0

　 not という写像を、次のとおりに定義します。
　 not(1) = 0
　 not(0) = 1
　 なお、以下においては、not の右側に位置する括弧を省略することにします。例えば、not(1) は、以下において、not 1 と表記を改めることにします。

● f は任意の付値関数であるとします。付値関数の定義より、次の等式 1) 2) 3) が満たされます。なお、P, Q は付値関数の定義域に属する任意の命題変数であるとします。

1) f(￢P) = not f(P)
　 ( すなわち、"f(￢P)" と "not f(P)" とは等しい )

2) f(P∧Q) = f(P) and f(Q)
　 ( すなわち、"f(P∧Q)" と "f(P) and f(Q)" とは等しい )

3) f(P∨Q) = f(P) or f(Q)
　 ( すなわち、"f(P∨Q)" と "f(P) and f(Q)" とは等しい )　

　 また、次の 4) 5) 6) 7) が満たされます。

4) f(P) = 1 であるとき、
　 f(P∧Q) = f(P) and f(Q)
　　　　　 = 1 and f(Q)
　　　　　 = f(Q)

5) f(P) = 0 であるとき、
　 f(P∧Q) = f(P) and f(Q)
　　　　　 = 0 and f(Q)
　　　　　 = 0

6) f(P) = 1 であるとき、
　 f(P∨Q) = f(P) or f(Q)
　　　　　 = 1 or f(Q)
　　　　　 = 1

7) f(P) = 0 であるとき、
　 f(P∨Q) = f(P) or f(Q)
　　　　　 = 0 or f(Q)
　　　　　 = f(Q)

● 以下において、f は任意の付値関数であるとします。A, B, C は付値関数の定義域に属する任意の命題変数であるとします。

● A∨(B∧C) ≡ (A∨B)∧(A∨C) の証明

　 f(A) = 1 のとき、
　 6) より、
　 f( 左辺 ) = f(A∨(B∧C)) = 1
　 付値の定義と 6) より、
　 f( 右辺 ) = f((A∨B)∧(A∨C)) = f(A∨B) and f(A∨C) = 1 and 1 = 1

　 f(A) = 0 のとき、
　 7) より、
　 f( 左辺 ) = f(A∨(B∧C)) = f(B∧C)
　 付値の定義と 7) より、
　 f( 右辺 ) = f((A∨B)∧(A∨C)) = f(A∨B) and f(A∨C) = f(B) and f(C) = f(B∧C)

　 ゆえに、f(A∨(B∧C)) = f((A∨B)∧(A∨C))
　 ゆえに、A∨(B∧C) ≡ (A∨B)∧(A∨C)

● ￢(A∧B) ≡ ￢A∨￢B の証明

　 f(A) = 1 のとき、
　 1) と 4) より、
　 f( 左辺 ) = f(￢(A∧B)) = not f(A∧B) = not f(B)
　 付値の定義 と 1) より、
　 f( 右辺 ) = f(￢A∨￢B) = f(￢A) or f(￢B) = (not f(A)) or (not f(B)) = 0 or (not f(B)) = not f(B)

　 f(A) = 0 のとき、
　 1) と 5) より、
　 f( 左辺 ) = f(￢(A∧B)) = not f(A∧B) = not 0 = 1
　 付値の定義 と 1) より、
　 f( 右辺 ) = f(￢A∨￢B) = f(￢A) or f(￢B) = (not f(A)) or (not f(B)) = 1 or (not f(B)) = 1

　 ゆえに、f(￢(A∧B)) = f(￢A∨￢B)
　 ゆえに、￢(A∧B) ≡ ￢A∨￢B

回答No.1

Caper

● 考えられるすべての付値関数について、調べればよいわけですよね … 。ということは、真理表を作成すればよいと、私は思うのですが、いかがでしょうか … 。

　 私はそこつ者です。まちがっていましたら、ごめんなさい。

● なお、「 付値関数 」という用語の意味について、次の Web ページ を私は参考にしました。

　 http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/ise/gr-thesis/ms/2009/06mi167.pdf