命題と論理

質問

a>0,b>0とする。2ab>1はa^2+b^2>1であるための□条件
という問題なんですが、
2ab>1　→　a^2+b^2>1
はa=1,b=2だとすると成り立って、
2ab>1　←　a^2+b^2>1
は同じようにすると成り立つから
必要十分条件いいんでしょうか??

回答No.4

y_akkie · ベストアンサー

>つまり2ab>1はa^2+b^2>1であるための必要条件で、
>2ab>1 ← a^2+b^2>1
>ってことですか??

逆ですね…。まずPがQであるための必要条件とは、Qという条件を満たすためにPという条件は最低限満たしていなければならないという解釈になります。
結論としては、QならばPが成立し、PならばQが成立しないときにこの事がいえます。
すなわち、QならばPが成立した時点でPはQの条件を完全に含んでいる事になります。ここで、ベン図を見れば明らかだと思いますが、Q⊂P（QはPの部分集合）という状態であれば、QならばPが完全に成立し、この時、PはQであるための必要条件であり、換言すれば、QはPであるための十分条件であると言えます。すなわち、Qを満たすどんなケースにおいても必ずPを満たすが、Pを満たすどんなケースにおいても必ずQを満たすとは限らない状態になります。なぜなら、P,QがQ⊂Pの関係であるばあい、PはP∩Q(1)、P∩Q'(2)(Q'はQの捕集合)の２つの領域に区分され、(1)の場合は当然条件を満たす領域ではありますが、(2)の場合は条件を満たさない領域です。要するに、(2)の領域内は「QならばP」の逆の命題である「PならばQ」が成立しない反例の集合となります。

纏めると、集合を描写したベン図で見た場合、PとQとが完全に同じ領域をカバーしている場合が必要十分条件となり、PはQに完全に含まれている場合はPはQであるための十分条件となり、逆にQはPに完全に含まれている場合がPはQであるための必要条件となり、PとQとが互いに含まれない場合は、PはQであるための必要条件でも十分条件でもないという事になります。

そして、この問題を解くときは、

P=（(a,b)|2ab>1）
Q= ((a,b)|a^2+b^2>1)

といったP,Qの集合を定め、
まず、P－＞Qが成立するか否かを確認しますと、
a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 ≧ 0より、
a^2 + b^2 ≧ 2ab となるので、
2ab > 1を満たしている場合は、a^2+b^2>1は必ず満たされる
事になります。よって、P－＞Qが成立し、PはQの集合領域に
含まれる事になります。(1)
次に、Q－＞Pが成立するか否かを確認しますと、
a = 1, b=1/2（反例）の場合などP'∩Qの領域が存在する事が確認され
、この場合はQはPに完全に含まれないという事が言えるので、
Qー＞Pは成立しない事がいえます。(2)

よって、(1)(2)からPはQであるための十分条件である事が分かります。
この事からPが成立すれば必ずQが成立する事になるが、Qが成立するから
といってPが必ず成立するとは限らない事が言えます。

回答No.3

larme001

違うと思います。
判例を探す場合は一つでもいいですが、必要条件を満たすことを示すなら、どんなa>0b>0 2ab>1を満たす値でも成立することがいえなければいけません。
この場合は、相加、相乗平均の関係を使えば成立することがわかりますので、やってみましょう。

逆を同じようにすると、、、というのがよくわかりませんが、これは明らかに成立しません。たとえばa=0.1 b=1とか

よって必要条件です。

必要、十分、などの条件をきちんと理解していなさそうなので、確認しますと、必要条件はそのまま「必要」なんです。たとえば、質問者さんのあげたa=1 b=2 (1)というのは　a^2+b^2>1...(2)　を満たすには、「十分です」これ以外にもあるかもしれないけど、とりあえずこの(1)の条件があれば、(2)は成立します。　では、逆はどうでしょうか？(2)の範囲を図示してみましょう。すると、確かにこの範囲に(1)は存在します。が、(2)なら(1）とはかりぎません。この場合、(1)であるためには、（2)であることが、必要ではありますが、十分ではないはずです。

図示して考えることもできますが、必要、十分条件は難しく考えないで、ことばそのままなんです。 必要十分条件が成立する場合　(1)=(2)、つまりふたつともが同じことを言っている場合です。

補足

つまり2ab>1はa^2+b^2>1であるための必要条件で、
2ab>1 ← a^2+b^2>1
ってことですか??

回答No.2

age_momo

反例を見つけるだけなら条件に合わない数字の組み合わせを見つけるだけでいいですが、
この問題の場合はだめです。全てのa>0,b>0についてどうかを考える必要があります。

a^2+b^2>1　　　2ab>1

今、a,bの座標系を考えて見ましょう。あるいはx^2+y^2>1,2xy>1と書き換えてもいいです。
x>0,y>0の条件がありますから第一象限だけ考えておけばいいですね。
x^2+y^2>1は原点を中心とした半径1の円(第一象限なので1/4円)の上側全てです。(境界を含まない)
一方、2xy>1は双曲線y=1/(2x)より上側になります。
グラフを描いてみれば一目瞭然ですが、2xy>1の領域はx^2+y^2>1の領域の一部です。
(全て含まれています)
よってこの場合は＊＊条件になります。

なお、別解として相加相乗で考えてもいいです。

今、(a^2+b^2)/2≧√(a^2b^2)=ab
a^2+b^2≧2ab

ですから　2ab>1　が成り立つa,bなら絶えず　a^2+b^2>1　が成り立つことが分かります。

a^2+b^2≧2ab>1

一方、例えば(a,b)=(1,0.1)の場合、a^2+b^2=4.01>1ですが2ab=0.2<1で不成立です。
よって＊＊条件と分かります。

書いているうちに#1さんが問題を投げかけてましたので＊＊にしておきました。
考えてくださいね。

回答No.1

kakkysan

特定の値で成り立つから全ての値で成り立つ、というのは余りにも乱暴な議論でしょう。（成り立たない例＝反例なら一つあれば十分ですが）

横軸をａ軸、縦軸をｂ軸として、二つのグラフを描き、不等式の領域を図示してみてください。

2ab>1　は直角双曲線2ab＝1の上の部分
a^2+b^2>1は　単位円　a^2+b^2＝１の外部
2ab＝1　と　a^2+b^2＝１は　点（(√2)/2、(√2)/2）で接する

図を描けば分かると思いますが、明らかに二つの領域は同じではありません。（全く一致すれば、必要十分条件）
すなわち必要十分条件では有りません。

では、何条件でしょうか？