論理学・集合論の問題の添削をお願い致します

質問

集合論に関する問題を解いたのですが、自信がありません。
どなたか添削をお願いいたします。

1)　φ∈{φ}　は正しいか？

集合∈集合となっているので正しくない

2)　{1,{1}}⊂{{1},{1,{1}}}　は正しいか？

｛１｝の集合をA、｛１,{1}｝の集合をBとおく
与式＝｛１,A｝⊂｛A,B｝　＝（同値）　∀x（x∈｛１,A} →（含意）x∈｛A,B}
右辺（同値より右）が偽より正しくない
#右辺のxが１の場合、x∈｛１,A}が真となりx∈｛A,B}が偽となるので
全体は偽となると考えたのですが、、自信がないです；

3)　{0,{0}}∈{{0},{0,{0}}}　は正しいか？　　

集合∈集合となっているので正しくない

4) {1,{1}}⊂{1,{1},{1,{1}}}

｛１｝の集合をA、｛１,{1}｝の集合をBとおく
与式＝{1,A}⊂{1,A,B} =（同値）　∀x（x∈｛1,A} →（含意）x∈{1,A,B})
右辺（同値より右）が真となるので正しい
# 2)と同じように考えました

回答No.4

thunderfish

＞集合∈集合となっているので正しくない
というところが目立ちますが。
集合の元が集合であることは普通にあります。公理的集合論では、集合だけで理論を作ることが普通です。ただし、X∈X となるような集合Xは禁止されます。

1) φ∈{φ} は成り立ちます。右辺は{x|x=φ} だから、φ∈{φ} ←→φ=φ よって、正しい。という言い方もできます。
2) 1が右辺の元でないので成り立ちません。これを詳しく書いたのが質問者様の説明ですからOKです。
3) 理由が、一番上と同じで集合∈集合は普通にあることです。A={0,{0}}としたとき、右辺は{{0},A}なので、右辺の元にAがあるから成り立ちます。
4) も2)と同じ考えでOKです。

回答No.3

incd

1)　φ∈{φ}　は正しいか？
私の理解では、
{a, b, c}
と書くときには、a,b,cの３つを要素に持つ集合を意味します。
であれば、
{φ}
はφを（多分唯一の）要素に持つ集合であるので、
φ∈{φ}　
は正しいと思います。

2)　{1,{1}}⊂{{1},{1,{1}}}　は正しいか？
A,Bを何らかの集合として、
A⊂B
は、Aの要素は全てBにも含まれていることを意味します。
左側の集合には、
1, {1}
の２つの要素が入っています。一方右側には
{1}, {1,{1}}
の２つが入っています。すると、
1　という要素が不足します。したがって正しくない。

3)　{0,{0}}∈{{0},{0,{0}}}　は正しいか？　　
右の集合の要素は
{0}, {0,{0}}
の２つ。したがって正しい。

4) {1,{1}}⊂{1,{1},{1,{1}}}
左側の要素は
1, {1}
の２つ。右側は
1, {1}, {1,{1}}
の３つ。したがって、正しい。

回答No.2

koko_u_

1)だけ。

φと書いてあるから惑わされるのだ。普通に a ∈ {a} と書いてあれば誰も迷わない。

回答No.1

rinkun

1),3),4)は正しく2)は正しくない。
まず集合の要素が集合であることは問題ない。実際、公理論的集合論では集合でないものは存在しないため、集合の要素は全て集合である。
2)は左辺は1を要素として含むが右辺は1を要素として含まないから部分集合の定義に合わない。
もう一度、用語の定義を確認し直すことをおすすめする。