期待値の問題について

質問

箱の中に12本のくじが入っている
Ａ賞に6点、Ｂ賞に3点、はずれに0点が与えられるとして、当たりくじは6本でＡ賞が2本、Ｂ賞が4本、残りははずれである
この箱からくじを1本続けて3回引く
ただし、引いたくじは元に戻さないものとする
得られる合計得点の期待値を求めよ

(Ｂ、Ｂ、Ｂ)、(Ａ、Ａ、Ｂ)…など引いたくじで分けて
(Ｂ、Ｂ、Ｂ)は4Ｃ3通りで確率は4Ｐ3/12Ｐ3＝24/1320 4Ｃ3をかけて96/1320
点をかけて864/1320
(Ａ、Ａ、Ｂ)は2Ｃ2×4Ｃ1通りで確率は2!×4/12Ｐ3＝8/1320 8通りで64/1320
点をかけて940/1320

などとやっていったのですが期待値は60点くらいになってしまいました どこを直せばよいでしょうか？

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

(Ｂ、Ｂ、Ｂ)は4Ｃ3通りで確率は4Ｐ3/12Ｐ3＝24/1320 4Ｃ3をかけて96/1320
点をかけて864/1320
＞ではなく、(Ｂ、Ｂ、Ｂ)は１通りで確率は24/1320です。

(Ａ、Ａ、Ｂ)は2Ｃ2×4Ｃ1通りで確率は2!×4/12Ｐ3＝8/1320 8通りで64/1320
点をかけて940/1320
＞ではなく、(Ａ、Ａ、Ｂ)と同じ組合せは（A、B、A）と（B、A、A）を合わせて３通り、
確率は（8/1320）×3=24/1320です。

お礼

実際にyyssaaさんのやり方でやってみたら答えの6点が出ました
様々な情報が出て混乱していたので本当に助かります！ありがとうございました

補足

No.7だと4Ｐ3通りと言っているのですが、違いはなんでしょうか？

回答No.16

yyssaa

No.7だと4Ｐ3通りと言っているのですが、違いはなんでしょうか？

＞4Ｐ3は、異なる4つから3つを選んで１列に並べる並べ方の数
です。ＢをB1、B2、B3、B4と区別すると、その並べ方は4P3通りに
なります。
しかし、Bを区別しない(B,B,B)の並びは1通りしかありません。
4Ｐ3/12Ｐ3＝24/1320 では、AもBもはずれも全てが異なるもの
として扱っています。従って24/1320は、(B,B,B)の生じる確率
そのものになっています。
BはBとして区別しないで計算すると、
1回目にBを引く確率=4/12
2回目に　　　　〃 　　 =3/11
3回目に　　　　〃 　　 =2/10であり、
(B,B,B)の生じる確率は(4/12)*(3/11)*(2/10)=(4*3*2)/(12*11*10)
=4Ｐ3/12Ｐ3となり、当然ですが、全てを区別して扱った場合の結果
と一致します。

お礼

難しいですが、頑張って理解します
ありがとうございました

回答No.15

MagicianKuma

たびたびのよこスレ。（質問者さんごめんなさい）
＞No14
例２はわざと言葉を曖昧にして作った引っかけ問題です。
4以上のくじを引けば10点は毎回10点という意味ではなく3回全体を見てと言うことです。4,2,5と引いても10点です。20点ではありません。
他意はありません。なんでもかんでも復元抽出と非復元抽出で答えが同じになると勘違いしないでね。と注意を喚起したかっただけです。

回答No.14

Tacosan

斜め 45°レスですが, 例2 の期待値は 12 でいいのでは＞#13.

回答No.13

MagicianKuma

よこスレ失礼します。
>No5
>単純な話が、一度作ったくじは何回目に引いてもその当たる確率は同じです。
>これって確率の基本なんですけどね・・・・・
基本でも何でもありません。復元抽出、非復元抽出の違いを十分に認識した上で、なぜ一致するのか不思議と感じる人の方がシャープな感覚を持っています。
で、あなたがNo5で書かれた様に、実際シコシコと非復元抽出で計算してみて、おぉ！一致するわ！となるのです。

例１：1から5の番号が書かれているくじがある。3回引いて（くじは戻しません）4のくじを引けば10点、その他は0点。ではその期待値は？ この場合は復元抽出と非復元抽出で答えが一致します。1回引く場合は1/5の確率なので期待値は2点。で3回チャンスがあるので3倍して6点。答えは合うが正しい計算方法か？
例２：1から5の番号が書かれているくじがある。3回引いて（くじは戻しません）4以上のくじを引けば10点、その他は0点。ではその期待値は？　1回引いて4以上になる確率は2/5で期待値は4点。で3回チャンスがあるので3倍して12点？？？　正しくは9点のはずです。

回答No.12

中村 拓男（@tknakamuri）

うーん、No.11の補足はいまいち理解できなかったのですが、
多分こんな感じのことをやりたかったのではないかと考えました。
順列ベースだと思いっきりめんどくさいですが、解くことはできます。

(1) Aが2個、Bが１個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の３通り
(A, A, B), (A, B, A), (B, A, A)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 2P2 X 4P1 = 8
なので、全部合わせると
3 x 8 = 24 通り

(2) Aが1個、Bが2個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の3通り
(A, B, B), (B, A, B), (A, B, B)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 2P1 X 4P2 = 24
なので、全部合わせると
3 x 24 = 72 通り

(3) Aが0個、Bが3個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の1通り
(B, B, B)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 4P3 = 24
なので、全部合わせると
1 x 24 = 24 通り

(4) Aが2個、Bが0個 Cが１個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の3通り
(A, A, C), (A, C, A), (C, A, A)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 2P2 X 6P1 = 12
なので、全部合わせると
3 x 12 = 36 通り

(5) Aが1個、Bが1個 C(はずれ)1個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の6通り
(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 2P1 X 4P1 X 6P1 = 48
なので、全部合わせると
6 x 48 = 288 通り

(6) Aが0個、Bが2個 C(はずれ)1個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の3通り
(B, B, C), (B, C, B), (C, B, B)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 4P2 X 6P1 = 72
なので、全部合わせると
3 x 72 = 216 通り

(7) Aが1個、Bが0個 C(はずれ)2個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の3通り
(A, C, C), (C, A, C), (C, C, A)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 2P1 X 6P2 = 60
なので、全部合わせると
3 x 60 = 180 通り

(8) Aが0個、Bが1個 C(はずれ)2個

A, B, C(はずれ) の並び方は、A, B, Cの違いを無視すると以下の3通り
(B, C, C), (C, B, C), (C, C, B)

それぞれで、個別のA, B, C を区別する場合の数は 4P1 X 6P2 = 120
なので、全部合わせると
3 x 120 = 360 通り

(1)～(8)までの場合の数に点数を掛けて積算すると

15x24 + 12x72 + 9x24 + 12x36 + 9x288 + 6+216 + 6x180 + 3x360 = 7920

これは 12P3=1320 回に対する総得点の期待値なので、これを一回当たりに直すと

7920 ÷ 1320 = 6 点

お礼

そのとおりなのですが余計なものをかけて答えが出なかったみたいです
ありがとうございました

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

>つまりどういうことですか？

(B, B, B) というパターンは、順列で考える場合、
B1, B2, B3, B4 から3個選んで並べるという
パターンの数です。これは順列の定義そのままなので
4P3でよいはずです。

で。４個から３個取り出す順列は、
「４個から３個を選ぶ」＋「３個を全部並べる」を合わせたものなので

4P3 = 4C3 X 3P3

です。これを 1100101 さんは 4C3 X 4P3 と数えてしまっている
ように思えるのです。

これはあくまで予想なので、どのように考えたか
説明してくださいね。

補足

4Ｐ3というのはＢ、Ｂ、Ｂがそれぞれ4/12×3/11×2/10なのと同じ感じで4個のＢから3つ並べる4Ｐ3という意味です
答えは(Ａ、Ｂ、Ｃ)なら3!通りで(Ａ、Ｂ、Ｃ)のみの確率(2×4×6)/12Ｐ3とかけて288/12Ｐ3
(Ａ、Ａ、Ｃ)なら3つの枠のうち一つにＣを入れると考えて3通り (Ａ、Ａ、Ｃ)のみの確率(2×1×6)/12Ｐ3とかけて36/12Ｐ3
みたいに考えるみたいです

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

>(Ａ、Ａ、Ｂ)は2Ｃ2×4Ｃ1通りで確率は2!×4/12Ｐ3＝8/1320 8通りで64/1320
>点をかけて940/1320

(Ａ、Ａ、Ｂ) というパターンは、順列で考えているとすると 2P2 x 4P1　= 8 だと思います。
後半のもうひとつの 「8通り」は理解できませんでした。なんでしょう？

補足

8通りではなく2Ｃ2×4Ｃ1通りです ミスです すみません

回答No.9

中村 拓男（@tknakamuri）

>BBBの9点をかけただけでしょうね、きっと。

なるほど、確率に組み合わせの点をかけた値だったんですね。
これは読みが足りませんでした。

すると 4C3 を掛けている点ですね。

「4P3 が、4個から3個を選ぶことを含んでいる」ことを
忘れているのが敗因でしょう。

補足

つまりどういうことですか？

回答No.8

asuncion

＞突然でてくる864という大きな数字はどうやって出したんですか？

BBBの9点をかけただけでしょうね、きっと。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

>答えではなくどこを直すべきかが知りたいので

私も知りたいです(^^;

>(Ｂ、Ｂ、Ｂ)は4Ｃ3通りで確率は4Ｐ3/12Ｐ3＝24/1320 4Ｃ3をかけて96/1320
>点をかけて864/1320

順列で解くのは思いっきり面倒ですが、間違ってはいません。それでも解けます。
しかし、４個のB賞から３個取り出すパターンは、順列では 4P3 = 24パターンです。
4Ｃ3をかけるのも変ですが、突然でてくる864という大きな数字はどうやって
出したんですか？

補足

4Ｃ3通りではなく4Ｐ3通りということですね
96/1320×9点＝864/1320です 確率×点数の総和が期待値ですから