数C 確率の乗法定理について質問があります
以下、教科書からの抜粋です
乗法定理とは
「２つの事象A,Bがともに起こる確率P(A∩B)は
P(A∩B)=P(A)PA(B) 」
とあり、その例題として次の問題が出されました。
例題：赤玉3個と白玉5個が入っている袋から、玉を1個取り出し
それをもとに戻さないで、続いてもう1個を取り出すとき
2個とも赤である確率を求めよ。
そして回答は次のようなものでした。
回答：最初に取り出した玉が赤であるという事象をA、2回目に
取り出した玉が赤であるという事象をBとすると
P(A) = 3/8
最初に取り出した玉が赤であるとき、2回目は赤玉2個と白玉5個の
中から1個取り出すことになるから
PA(B) = 2/7
2個とも赤であるという事象はA∩Bで表されるから、求める確立は
乗法定理により
P(A∩B) = P(A)PA(B) = 3/8 × 2/7 = 3/28
以上、教科書からの抜粋でした。
この回答に理解できないところがあり、以下にそれを書きます。
(1)そもそも条件付き確立の定義は
「標本空間Uにおける2つの事象A,Bについて、事象Aが起こった時に、事象Bが
起こる確率を、事象Aが起こったときの事象Bの起こる条件付き確率という」
というものです。この例題の場合、事象Aが起こったときには事象Bは起こらないんじゃないでしょうか？
なぜなら事象Aが起こったあとに、もう一度試行をしなければ事象Bは起こりえないからです。
故にこの例題ではPA(B)を定義できないと思うのです。
(2)乗法定理は PA(B) = P(A∩B)/P(A) を変形して得られたものですが、この変形前の式は
PA(B) = n(A∩B)/n(A) の右辺の分母・分子にn(U)の逆数をかけて得たものです。
つまり事象A,Bともに標本空間Uの部分集合であるのです。
この例題の標本空間Uは赤玉3個と白玉5個が入った袋です。
Aはこの8個入りの袋を標本空間としていますが
Bの場合は、一回目に赤玉を一つ抜いてしまっていますから、Aとは別の標本空間に属する
部分集合となってしまっています。
そのためこの例題の事象A,BをPA(B) = P(A∩B)/P(A) に当てはめることができないと思うのです。
(3)A,Bは同一の標本空間にないのでA∩Bをそもそも定義できないと思うのです。
そのため2個とも赤であるという事象はA∩Bで表されないと思うのです。
この3点が理解できない所です。
長文を読んでくださってありがとうございました。
私の考えのどこがおかしいのか、教えてください。
回答よろしくお願いします。
