この数学の疑問論理的に説明してくれる方いませんか？？

質問

１２本のくじの中に当たりくじ３本ある。このくじをA,B２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、引いたくじはもとに戻さないとする。

１Aが当たり、Bがはずれる確率を求めよ。

この問題なのですが乗法定理を使うらしいです。
解き方は3/12×9/11＝9/44でした。
しかし、この解き方に少し疑問を感じます。
当たりくじはA、B、Cとします
確かに１人目と２人目では引く確率が異なる。それはイメージできるんですが、２人目の確率9/11ということは全事象は11通りということは
減るもんが当たりくじAかもしんないし、Bかもしんないし、Cかもしないということを考慮してないように思えるのですが、、、
うまい解釈を教えて下さい。

回答No.1

pasocom · ベストアンサー

＞Aが当たり、Bがはずれる確率を求めよ。
とは正確に言うと最初にくじを引くＡは当たりくじを引き、「かつ」２番目に引いたＢはハズレくじを引く、という確率を求めよ。ということですね。
このように「ある事象が起き、かつ続いてある事象が起こる」というような場合には「乗法定理」を使います。
つまり、求める確率＝（最初の事象が起きる確率）ｘ（続いて次の事象が起きる確率）。です。

まず最初の事象（Ａがあたりを引く）の確率を考えます。これは12本のうちあたりが3本ですから、当然、3/12　の確率となります。
続いてＢがハズレを引く確率を考えます。このとき、すでにＡが一本くじを引いた後で、かつ、あたりを引いているのですから、残っているくじは全部で11本。その中にはあたりが2本、ハズレが9本入っているのです。
その前提でくじを引くのですから、Ｂがハズレを引く確率は、9/11　です。
よって求める確率は、3/12ｘ9/11　となります。
＞減るもんが当たりくじAかもしんないし、Bかもしんないし、Cかもしないということを考慮してないように思える。
上記の説明でわかるように、Ａが引いた当たりが３本のうち、どれであるかは、まったく関係がない、のです。どれであろうと、結局Ｂがくじを引く時点では「ハズレくじは11本中に9本残っている」ということだけが重要です。

回答No.2

SortaNerd

区別して書くとすれば、3通りに場合分けして、
・Aが当たりaを引く場合
1/12×9/11=3/44
・Aが当たりbを引く場合
1/12×9/11=3/44
・Aが当たりcを引く場合
1/12×9/11=3/44
となり、全部足して
3/44+3/44+3/44=9/44
となります。
こちらの方が分かりやすければこちらを使えばよいでしょう。答えは同じです。