結合法則
M：空でない集合
φ：M×M→M φ(φ(x,y),z)＝φ(x,φ(y,z)) (∀x,y,z∈M)…☆
が成立しているとする。
X1,…,Xn∈Mが与えられたとき、Xi,X(i+1)に対しφを作用させる。次にn-1個の元X1,…,X(i-1),φ(Xi,X(i+1)),X(i+2),…,Xnを改めてY1,…,Y(n-1)と記し、またYj,Y(j+1)に対しφを作用させる。この操作を繰り返し最後に残った元をZとする。
このとき、X1,…,Xnに対しZを対応させる写像ψn:M^n→Mはφを作用させる場所によらず(つまりiやjなどによらず)well-definedである。
以上のことを証明してみたのですがあっているかどうかわからないので、教えて下さい。
(証明)
nに関する帰納法で示す。
n=2…明らか
n=3…☆により明らか。
ψ(n-1)までがwell-definedであると仮定する。
ψnがwell-definedであることを示すには
ψ(n-1)(φ(X1,X2),X3,…,Xn)＝…＝ψ(n-1)(X1,…,X(n-2),φ(X(n-1),Xn))
(∀Xi∈M,i=1,…n)をいえばよい。
ψ(n-1)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,X(j+1)),X(j+2),…,Xn)とψ(n-1)(X1,…,Xj,φ(X(j+1),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)が等しいことをいえばOK。(j=1,…,n-2)
ψ(n-1)のwell-defined性より
ψ(n-1)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,X(j+1)),X(j+2),…,Xn)＝ψ(n-2)(X1,…,X(j-1),φ(φ(Xj,X(j+1)),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)…(1)
ψ(n-1)(X1,…,Xj,φ(X(j+1),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)＝ψ(n-2)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,φ(X(j+1),X(j+2))),X(j+3),…,Xn)…(2)
☆より(1)＝(2)がわかるから
ψ(n-1)(X1,…,X(j-1),φ(Xj,X(j+1)),X(j+2),…,Xn)とψ(n-1)(X1,…,Xj,φ(X(j+1),X(j+2)),X(j+3),…,Xn)が等しい。
したがってψnはwell-definedである。
お礼
> [Q]で書いてある主張は正しくないです． > 反例：n=1, x_1=(1 0)の転置, x=(1 1)の転置. 反例有難うございます。 ∥t(1,1)∥=2≠1となってしまいますね。 納得致しました。