作られた問題

質問

分からない問題があるのですが、実はこの問題は問題集など
すでに問題として成り立っており答えも存在する問題ではなく
ある人が短時間で作った問題なので、問題自体が間違っている
可能性も否定はできません（私の計算ミスなどにより解けない
だけで、問題があっている可能性ももちろん大いにあります）

１、{(1+√3i)/(√2+√2i)}^2000
計算すると(2/√2)^2000*{(-1/2)+(√3/2i)}になりました。
問題製作者は先生なのですが、授業中に解いた（正しくは宿題で出た）問題も
２０００乗でしたが、きれいに解けました。
やはりこの問題は地道に(2/√2)^2000を計算するしかないのでしょうか。

２、a=(1+i)/√2とするとき、1+a+a^2+a^3=0であることを示せ。
計算していくと、イコール０にならなかったので示せなかったのですが
これは単なる私の計算ミスでしょうか。
ちなみに、a=cos45°+isin45°に直し、a^2=cos90°+isin90°などとして
最後にcos90°+isin90°=iに直して足し、解いていきました。

３、P={(i+√3i)/2}^n+{(-1-√3i)/2}^nの値を求めよ（ｎは正の整数）
(i+√3i)/2、(-1-√3i)/2をそれぞれ極形式に直しました。
その後足して、ド・モアブルの定理を使い、ｎの場合分けをして
答えを出そうと思ったのですが、(i+√3i)/2はcos60°+isin60°、
(-1-√3i)/2はcos120°-isin120°になりました。
このあとどうすればいいのかが分かりませんでした。

たぶん問題の方は合っていると思うのですが、違ったらご指摘ください。
（私が作った問題ではありませんが・・・）
もし問題が合っている場合は、それぞれの解き方を教えていただけると
幸いです。よろしくお願いいたします。

回答No.1

graduate_student · ベストアンサー

1.1+√3iと√2+√2iをそれぞれcosθ+isinθで表してください．
そうすると，分子がcos60+isin60,分母がcos45+isin45となり，全体でcos15+isin15になりますね．
つぎに2000乗すると，cos30000+isin30000となり，これはcos120+isin120になります．30000°の中に360°が何個含まれているかを考えてください．

2.問題ミス，もしくは書き間違いでしょう．
3.(i+√3i)/2と書いていますが，(1+√3i)/2ではないですか？

補足

すみません、３についてはご指摘の通り、書き間違いでした。
もしよろしければ、そのあとの解き方を教えていただければ幸いです。

回答No.6

graduate_student

3.　まず，｛(1+√3i)/2｝cos60+isin60,
{(-1-√3i)/2]=cos240+isin240です．

n=1,2,3,4,5,6,7まで計算しましょう．
すると，n=1とn=7のPの値は同じになります．
つまり，周期6です．

解答の書き方としては，n=6k-5(kは自然数)のとき，P=～，n=6k-4(kは自然数)のとき，P=～というふうに書いていきましょう．

お礼

どうやら、３はcos(180°－θ)＝－cosθを使って解くようです。
ありがとうございました！

回答No.5

noname#24477

前の回答の追加です。
２．ですが
1+a+a^2+a^3=0だと因数分解できて
(1+a)(1+a^2)＝０になりますからａ＝１，±i
になってしまいます。

問題のａを生かすなら1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6+a^7=0
でしょうか。

お礼

先生も、先週（今週から考えると先々週）の解き方の復習をさせたかったらしく
ojamanboさんのおっしゃる通り、1+a+a^2+a^3+a^4+a^5+a^6+a^7=0
にすべきだったと言っていました。ありがとうございました。

回答No.4

noname#24477

１．計算間違い　(2/√2)^2000は出てきません。
分母・分子の大きさは同じですから約分して大きさ１
になるはずです。

２．問題が間違い

３．これもひょっとして問題の間違い？
まず最初のカッコ内はiでなくて１でしょう。
後ろのカッコは－が付いているだけなのでマイナスで
くくれば
ｎが偶数か奇数かでほとんど終わってしまいます。

お礼

３は解けました。
やはり２は間違いだったようです。
１は分母と分子でそれぞれ極形式にするやり方をどうしても
忘れてしまうので、気をつけたいと思います。ありがとうございました。

補足

スミマセン！ご指摘どおり、３はiではなく1です。

回答No.3

noname#8027

２．
1+a+a^2+a^3
=(1+a)+a^2(1+a)
=(1+a)(1+a^2)

=(1+√2/2+√2i/2)i
=(1+√2/2)i-√2/2

ゼロにはならないと思います。

お礼

はい。やはりそのやり方では解けないので、間違いだったそうです。
ありがとうございました。

回答No.2

Rossana

1.ヒント
(cosα＋isinα)/(cosβ＋isinβ)
＝cos(α－β)＋isin(α－β)
にしてから，2000乗．
2.簡単にベクトルのように図形を描くと0にならないので，たぶん問題が間違い．
3.ヒント
cos(180°－θ)＝－cosθ
を使う．θ=60°で考えよう．これを使えば似た形になるはず．

お礼

２は解こうと思えば解ける問題らしく、実際先生は別のやり方で
解いていました。
しかし、先週の復習を宿題でやらせたかったようなので、問題としては
間違っていたと言っていました。
３はアドバイスいただいたやり方で解けました。ありがとうございました。