式の代入が意味するところ

質問

円柱面A：x^2 + y^2 = r^2 … (1)
円柱面B：y^2 + z^2 = r^2 … (2)
この２式の共通部分を求めたいのですが、
(1)をy^2 = r^2 - x^2と変形して、これを(2)に代入すると、
z^2 - x^2 = 0 という式が出来ますが、
てっきり共通部分とy=0の共通部分を表す式かと思ったのですが、
これは z=x かつ z=-x の直線を表していてどう考えても共通部分だとは思えません。
この式は一体何を表すものなのでしょうか？
それと、共通部分を求めるにはどうすればよいのでしょうか？

回答No.3

hugen

円柱面A：x^2 + y^2 = r^2 … (1)
円柱面B：y^2 + z^2 = r^2 … (2)　　⇔　　z=x 又は z=-x 、の 平面と　面Aとの交わり

参考URL：

http://link.web.nitech.ac.jp/kyozai/edu3D/pillars/index.html

回答No.2

alice_44

共通部分の点はその「直線」とやら(実際は平面)
の式を満たすというだけで、その式を満たす点が
全て共通部分だという訳ではありません。
共通部分は、その式が表す図形の一部分です。
式変形の必要性と十分性について、
反省してみてください。
共通部分を y 軸に沿って xz 平面へ射影すると、
その式が表す直線の中に収まるのです。

回答No.1

DJ-Potato

(1)と(2)に隠れた条件を掘り起こしてみれば、色々と見えてくるのではないでしょうか。

(1)　x^2 + y^2 = r^2
　というのは、rは定数として、xとyの式ではなく、
(1)'　x^2 + y^2 + 0・z^2 = r^2
　という、x,y,zの式です。
実はここに　-r≦x≦r, -r≦y≦r　という暗黙の条件も隠れています。
(2)で同様に-r≦z≦rも出てきます。

(1)と(2)に共通する変数であるyに注目して、
X = ±√(r^2 - y^2)
Y = y
Z = ±√(r^2 - y^2)

{x,y,z} = {±√(r^2 - y^2),y,±√(r^2 - y^2)}　　複合任意
-r≦y≦r

というのが、共通部分を示すのではないでしょうか。

y=0の時、x=±r, z=±r
y=±rの時、x=0, z=0