数学の質問です

質問

（１）α≠0を代数的数とするときα^-1も代数的数であることを示せ
（２）α=３^(1/2)＋２＾（１/3）は代数的数である。αを根に持つQ係数の多項式を計算すると何次式が得られるか？
という問題です

解き方がわかりません
教えてください宜しくお願いします

（２）なんですけど
αθi＝Σaijθj （１<=i<=r）
Σの上ｒ下はｊ＝１を使って行列式で解きたいのですが

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

（（１） について）
αの最小多項式のXに1/Xを代入して、分母を払えば、1/αの最小多項式になるのでは？

（（２）について）
X^2-3の根をβ、X^3-2の根をγとすれば、α＝β＋γです。βとγの多項式で表される数全体をVとすると、Vは、Q上のベクトル空間で、1、β、β^2、γ、γβ、γβ^2で生成されます。したがって、Vの次元は、6以下です。よって、7個の数値1、α、α^2、α^3、α^4、α^5、α^6は一次従属なので、a、b、c、d、e、fを未知数とする方程式

a + bα+cα^2+dα^3+eα^4+fα^5+α^6=0

を解くことができます。具体的には、これの左辺をすべて1、β、β^2、γ、γβ、γβ^2で表して、それぞれの係数を0と置くことにより、6個の式が得られます。未知数も6個なので、それを解けばいいのです。

もし、これが不定だったら、1、α、α^2、α^3、α^4、α^5が一次従属ということなので、未知数を１つ減らして解くことになります。以下、同様です。

実際にやってみると、結構な計算量になりました。一応、

-23-36X+27X^2-4X^3-9X^4+X^6

という式を得ましたが、計算が合っているか保証できかねます。なお、一般には、このようにして求めた多項式が既約だと限らないので、このあと、因数分解する必要があります。今回の場合は、これが既約なので、αの最小多項式であると結論できます。

回答No.1

Tacosan

(1): 「代数的数」の定義は?
(2): aij や θi などが何を意味するのかわからんし, 「が」の後に何が省略されているのかもわからん.

補足

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0
をみてください

２：がのうしろはθをどのように出したらいいですか？
ａijやθiは１～ｒまでの値が入ります