数学、代数の問題を教えてください。

質問

数学、代数の問題を教えてください。

文字の直後の数字は添え字です。

1.
β1=1,β2=√2,β3=√5,β4=√10

とおき，a,b,c,d を有理数とするとし α=a+b√2+c√5+d√10 とおく。４次行列 M=[mij](ijは添え字)の各成分を次のように定義する。

　・αβ1=m11β1+m21β2+m31β3+m41β4
　・αβ2=m12β1+m22β2+m32β3+m42β4
　・αβ3=m13β1+m23β2+m33β3+m43β4
　・αβ4=m14β1+m24β2+m34β3+m44β4

　(a)行列 M とその行列式と固有方程式を求めよ。
　(b) α の最小多項式を求めよ。

2.
　α を代数的数で、そのＱ上の最小多項式を X^4+X^3a3+X^2a2+Xa1+a0 とする。ここで係数は有理数である。

　γ1=1,γ2=α,γ3=α^2,γ4=α^3

とおき、4次行列 M´=[mij]の各成分を次のように定義する。

　・αγ1=m11γ1+m21γ2+m31γ3+m41γ4
　・αγ2=m12γ1+m22γ2+m32γ3+m42γ4
　・αγ3=m13γ1+m23γ2+m33γ3+m43γ4
　・αγ4=m14γ1+m24γ2+m34γ3+m44γ4

　(a)行列 M´ とその行列式と固有方程式を求めよ。
　(b) α の最小多項式を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.5

Tacosan

mij が有理数だってことは形からわかるんですけねぇ＞#4. ただ, こういう与え方だとやっぱりちゃんと書いてほしいと思ったりするわけでして. これが
m11 = ...
とか書いてあれば, もちろん「それを有理数だと認識するのも問題のうち」と言えるんだけど.

回答No.4

alice_44

あ、ホントだ。「mij は有理数」って書いてない。
ダメじゃん。
こんなの、前にもあったな。とほほ…

回答No.3

Tacosan

m11 = α, m21 = m31 = m41 = 0 でもいいんですよね＞#2.

回答No.2

alice_44

1.
そう書いてあると、一見複雑そうに見えるけれど、
mij の定義式に α,β1～β4 の値を代入して、
具体的な係数で書き出してみてください。
あまりにも単純な話であることが解ります。

Q(√2,√5) の基底を考えてみるとよいです。

回答No.1

Tacosan

たとえば１で
αβ1=m11β1+m21β2+m31β3+m41β4
とあるんだけど, これから m11～m41 はどうやって決まるの?