二次形式に関する質問です
ｎ個の変数x_1,・・・x_nに関する実係数の斉二次式を二次形式という。任意の二次形式はx_ix_jの係数をa_ijとおくと
Ｆ(x_1,・・・,x_n)=Σa_ijx_ix_jと書ける。
今、a_iiは一意的に決まるが、ここでa_ij=a_jiとすればa_ijも一意的に決まる。係数行列Ａ=(a_ij)を二次形式Ｆの行列という。Ａは実対称行列。
x=(x_1,x_2,・・・x_n)とすれば
容易にわかるように、Ｆ(x_1,・・・,x_n)=Ｆ(x)=t^xAxとできる。
これをＦ(x)=Ａ[x]と書くことにする。
二次形式Ｆ(x)=Ａ[x]に対し、適当な直交行列Ｐをとって、x=Pyとすれば
Ｆ(x)=Ｇ(y)=α_1(y_1)^2+_α2(y_2)^2+・・・+α_n(y_n)^2
とできる。ただし、α_iはＡの重複もこめた固有値である。
さらに
α_1,・・・α_p＞０
α_p+1,・・・,α_q＜０
α_q+1,＝・・・＝α_n＝０
とできる。p+qはＡの階数である。
さらに、変数の正則線形変換
y_i=z_i/√α_i(1≦i≦p)
ｙ_j=z_j/√-α_j (p+1≦j≦p+q)
を行えば
Ｆ(x)=(z_1)^2+・・・+(z_p)^2-(z_p+1)^2-・・・-(z_p+q)^2
となる。これを二次形式Ｆ(x)の標準形という。
また、p,qの組(p,q)を二次形式Ｆ(x)=Ａ[x]の"符号"という
(pはＡの正の固有値の数、qは負の固有値の数である)
符号の判定として、次に例示する"ラグランジュの方法"がある。
(例1)
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2+4xy+4yz
=(x+2y)^2+y^2-5z^2+4yz
=(x+2z)^2+(y+2z)^2-(3z)^2
よって符号は(2,1)である。
(例２)
Ｆ(x,y,z)=2xy+2yz
平方項がないから、x'=x+y , y'=x-yとすれば
Ｆ(x,y,z)=(x'^2/2)-(y'^2/2)+(x'-y')z
={(x'+z)^2}/2-(y'^2/2)-y'z-z^2/2
={(x'+z)^2}/2={(y'+z)^2}/2
={(x+y+z)^2}/2-{(x-y+z)^2}/2
よって符号は(1,1)である。
・・・・と(線形代数入門/斎藤正彦に)書いてあるんですが、ここで言う"ラグランジュの方法"とは何なのかがまったくわからずに困っています。
いったいラグランジュの方法とは何なのでしょうか？
この例って、私には単に上手く変形してるだけにしか見えないのですが・・。
私はラグランジュと名のつくものは、微積分の教科書で学習したラグランジュの未定乗数法くらいしか聞いたことがないのですが・・・まさかそのことではないですよね？
仮にそうだとしても、どのように未定乗数法を適用してるかもさっぱりです。
どなたか詳しい方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m
かなり困ってます・・。
お礼
解答ありがとうございます！ 行列式を表しているのですが、わかりづらくて本当に申し訳ありませんでした。 ものすごく分かりやすい解答ありがとうございます！思わず「そっかあああ！！！」と叫んでしまいました。 「行列の積の行列式と行列式の積との関係を使うと楽」の意味が分かった気がします。 本当にありがとうございました！！